ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة. يناقش مقال أصول الهندسة التحليلية وعلاقتها بمختلف فروع الرياضيات. تم تطوير الفكرة الأساسية للهندسة التحليلية في القرن السابع عشر من قبل عالمين فرنسيين هما بيير دي فيرما ورينيه ديكارت. في ذلك الوقت، لعبت الهندسة التحليلية دورًا رئيسيًا في مختلف فروع الرياضيات.
أصل الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
سنتعرف تدريجياً على ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة في السطور التالية من المقالة، لذا استمر في القراءة.
بعد تطوير الفكرة الأساسية للهندسة التحليلية في القرن السابع عشر من قبل بيير دي فيرمات ورينيه ديكارت، بعد الاختراع الشهير (تحديث الجبر والتدوين الجبري) من قبل فرانسوا فيت وإنشاء الأساس الأساسي لحساب التفاضل والتكامل بواسطة إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز.
- تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر عبر تاريخ الرياضيات، مع وصول الهندسة إلى درجة أكبر من النضج في وقت أقرب.
- تمكن عالم الرياضيات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج الرائعة في كتابه الكلاسيكي Elements ؛ كان الجبر مجموعة أقل تنظيماً من الأفكار التي اعتمدت على المصادر البابلية والمصرية واليونانية والهندوسية وتعاملت مع مشاكل تتراوح من التجارة إلى الهندسة.
- قبل عصر النهضة، كان من الممكن استخدام الهندسة لتبرير الحلول للمسائل الجبرية، ولكن لم يكن هناك الكثير من التفكير في أن الجبر سوف يلقي الضوء على الهندسة.
- سيتغير هذا الموقف مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبرية وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضية التي تسمح بذلك.
اقرأ هنا عن: الهندسة الكهربائية والحوسبة
التدوين ومفهوم العمل
لتوضيح أهمية التدوين ومفهوم الوظيفة، يمكننا النظر في إحدى المشكلات الكلاسيكية للجبر، حل المعادلة التربيعية.في التدوين الحديث، يمكن كتابة هذه المعادلة:
- المحور 2 + Bx + C = 0.
- من المفهوم هنا أن A و B و C تمثل الأرقام، و x تمثل الكمية غير المعروفة التي يجب إيجادها، و 2 الصغيرة التي تظهر في المصطلح الأول تعني أن المجهول x يجب تربيعه أو ضربه بنفسه.
- بينما كانت حلول بعض أشكال هذه المعادلة معروفة للبابليين القدماء، لم يتم تطوير التدوين بشكل كامل حتى عمل عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت، الذي وحد استخدام الحروف لتمثيل الكميات الثابتة والمتغيرة.
- بالنظر إلى هذا الترميز، من السهل التفكير في معادلة بالصيغة: f (x) = 0.
- حيث تكون الوظيفة: f (x) = Ax2 + Bx + C.
- ثم يمكننا التفكير في متغير ثانٍ، على سبيل المثال y، والذي تم تحديده بواسطة الوظيفة: y = f (x) = Ax2 + Bx + C.
- إذن، لدينا علاقة بين المتغيرين x و y يمكن دراستها بشكل مستقل.
الفكرة الرئيسية للهندسة التحليلية
الجزء الأول من ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة هو الفكرة الأساسية للهندسة التحليلية، وهي أن العلاقة بين متغيرين، كأن يكون أحدهما دالة للآخر، يحدد منحنى.
- يبدو أن الفكرة تم تطويرها لأول مرة من قبل الفقيه والرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات.
- كما جاء في كتابه “مقدمة في المستوي والصلب” الذي كتب عام 1629 م.
- كان شائعًا بين أصدقائه وقدم فكرة أن أي معادلة تربط بين مجهولين تحدد موقعًا أو منحنىًا.
- سمح فيرمات للمتغير بتمثيل المسافة في خط مستقيم من النقطة المرجعية ؛ ثم يشير المتغير الثاني إلى المسافة من الخط ؛ ذهب فيرما لاشتقاق معادلات لعدد من المنحنيات البسيطة، بما في ذلك الخط المستقيم والقطع الناقص والقطع الزائد والدائرة.
- نظرًا لأن فيرما لم يفكر في المسافات السالبة، لم يستطع إظهار منحنيات مثالية، لكن علماء الرياضيات الآخرين سيتغلبون على هذه المشكلة قريبًا.
نهج جبري للهندسة اكتشفه رينيه ديكارت
كان الفيلسوف الفرنسي رينيه أيضًا رائدًا في اتباع نهج جبري للهندسة يبدو أنه كان مستقلاً إلى حد كبير. كان ديكارت أحد الشخصيات الفكرية المهيمنة في القرن السابع عشر، اشتهر بالفيلسوف، ومؤلف العديد من النظريات الفيزيائية المهمة، ومساهمًا رئيسيًا في الرياضيات.
- عمل ديكارت في الهندسة هو أحد الملاحق الثلاثة لخطابه الشهير حول الفعل الصحيح للعقل ووصول الحقيقة في العلوم. التطبيقان المتبقيان هما على البصريات والأرصاد الجوية.
- كما يوحي الاسم، رأى ديكارت الرياضيات في المقام الأول كوسيلة لاكتساب المعرفة في مجال العلوم.
- في ملحقه حول الهندسة، بدأ ديكارت بالإشارة إلى أن البوصلة والخطوط المستقيمة للهندسة تشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة والجذر التربيعي.
- اقترح تعيين حرف للإشارة إلى طول كل سطر يظهر في التصميم، ثم كتابة المعادلات المتعلقة بأطوال الخطوط، مما ينتج عنه عدد من المعادلات مثل الخطوط غير المعروفة ؛ يصبح العثور على الأطوال المجهولة مسألة حل نظام المعادلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة.
- بعد إثبات قابلية تطبيق الجبر على حل المشكلات الهندسية التقليدية، يناقش ديكارت حل المشكلات التي يكون حلها منحنيات ؛ في مسائل من هذا النوع، لا توجد معادلات كافية لتحديد جميع الكميات المجهولة، وينتهي الأمر بإحداها إلى أن تكون علاقة بين مجهولين.
- عند هذه النقطة، اقترح ديكارت استخدام الطول من نقطة ثابتة على خط ما لتمثيل x، والمسافة من x على خط مرسوم في اتجاه ثابت لتمثيل y.
- إذا اخترنا في السطر الأول اتجاهًا ثابتًا بزاوية قائمة، فسنحصل على نظام حديث للإحداثيات المستطيلة أو الديكارتية، يسمى ديكارت.
- اقترح ديكارت بعد ذلك أن أي معادلة تتضمن قوى x و y تصف منحنى هندسيًا مقبولاً.
- لقد أوضحت أن المنحنيات الخاصة المعروفة بالمقاطع المخروطية – الدائرة، والقطع الناقص، والقطع الزائد، والقطع المكافئ – كلها موصوفة بمعادلات جبرية ذات أكبر قوة لـ x أو y تساوي اثنين.
كما أدعوكم للتعرف على: أنواع التكنولوجيا ومجالاتها
جدل بين فيرما وديكارت في الهندسة التحليلية المتعلقة بالفيزياء وعلم الفلك
أصبحت دراسة هذه المنحنيات (المقاطع المخروطية) ذات أهمية متزايدة نتيجة للاكتشافات في الفيزياء وعلم الفلك.
خاصةً اكتشاف العالم الألماني يوهانس كبلر أن الكواكب لا تتحرك في دوائر كاملة أو مجموعات من الدوائر الكاملة.
ولكن في شكل قطع ناقص.
- بالإضافة إلى ذلك، أوضح كبلر أن الكواكب لا تتحرك بسرعة ثابتة، ولكن بسرعة تختلف باختلاف المسافة بينها وبين الشمس.
- توفر الهندسة التحليلية وصفًا مفيدًا لشكل هذه المدارات. سيتبع قريبًا شرح للحركة الفعلية.
- عندها اقترح إسحاق نيوتن قوانينه للحركة والجاذبية الشاملة وطور طرقًا حسابية لتطبيقها.
- يتم التعبير بسهولة عن مشكلتين أساسيتين في حساب التفاضل والتكامل في الهندسة التحليلية:
- الأول هو إيجاد خط المماس للمنحنى الموصوف بواسطة y = f (x) عند أي نقطة.
- والثاني هو إيجاد المنطقة الواقعة بين مقطع المنحنى والخط y = 0 ؛ حل هذه المشاكل يؤدي مباشرة إلى حل.
- من الاثنين الآخرين: أوجد قيم x التي من أجلها y = f (x).
- هي الحد الأدنى أو الأقصى، وإيجاد طول مقطع المنحنى.
- بحلول عام 1629، حل فيرمات مشكلة الظل والمشكلة ذات الصلة بإيجاد الحدود القصوى والصغرى.
- عندما ظهرت هندسة ديكارت في عام 1637، انتقدها فيرمات لعدم تضمينها مناقشة الظلال أو الحدود القصوى والدنيا.
- أجاب ديكارت أن هذه النتائج يمكن الحصول عليها بسهولة من قبل أي شخص يفهم عمله.
- وأن أعمال فيرما أظهرت فهمًا للهندسة أقل من فهمه للهندسة.
- في نهاية المطاف، خمدت الجدل حول أهمية وأسبقية مساهمات فيرما وديكارت، واعترف كل منهما بمساهمة الآخر.
الجدل بين نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز في الهندسة التحليلية المتعلقة بحساب التفاضل والتكامل
سيتم إنجاز التطوير الكامل لحساب التفاضل والتكامل من قبل نيوتن والعالم الألماني جوتفريد فيلهلم ليبنيز، اللذين يعملان بشكل مستقل عن بعضهما البعض:
- كما هو الحال مع فيرمات وديكارت، كان هناك خلاف حول الأولوية، ولكن في هذه الحالة نزاع أكثر عنفًا وطويل الأمد.
- في عام 1696، نشر عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي مشكلة حساب التفاضل والتكامل كتحدي لعلماء الرياضيات الآخرين.
- تكمن المشكلة، المعروفة باسم أقصر وقت، في العثور على المنحنى الذي تتحرك خلاله الخرزة المنزلقة من نقطة إلى أخرى في أقل قدر من الوقت مع الجاذبية باعتبارها القوة الخارجية الوحيدة.
- الإجابة هي نسخة مقلوبة من سيكلويد، وهو منحنى تم إنشاؤه بواسطة نقطة على محيط عجلة تتدحرج على سطح مستو.
- في عام 1697، تمكن برنولي من نشر حله الخاص جنبًا إلى جنب مع الحلول التي حصل عليها من أربعة علماء رياضيات آخرين، بما في ذلك نيوتن وليبنيز.
- تم تقديم حل نيوتن دون الكشف عن هويته، لكنه لم يخدع برنولي الذي قال: “أعرف أسدًا من مخلبه”.
الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
الجزء الثاني من ظهور الهندسة التحليلية وارتباطها بمختلف فروع الرياضيات هو ارتباط هذا العلم بفروع الرياضيات الأخرى، وهي كالتالي:
- تمثل الهندسة التحليلية إضافة إلى تقليد هام في الرياضيات، إلى تقاليد الهندسة، مثل دراسة الشكل أو التكوين.
- وتلك العمليات الحسابية والجبر التي تتعامل مع الكمية أو العدد.
- كان هذا المزيج ضروريًا إذا أرادت العلوم الفيزيائية تجاوز المفاهيم الأرسطية للحركة.
كاملة وغير مكتملة لفلسفة طبيعية قائمة على الملاحظة والخبرة. - لذلك ليس من المستغرب أن كلا من فيرما وديكارت كانا مهتمين بالمشكلات العلمية في عصرهما.
- خاصة فيما يتعلق بالبصريات.
- وديكارت بشكل عام بجميع فروع الفيزياء وعلم الفلك.
- أصبحت تقنية حساب التفاضل والتكامل، القائمة على فهم الهندسة التحليلية، أساس رياضيات العلوم الفيزيائية والتكنولوجيا.
- مع إضافة المعادلات التفاضلية، والتي تمثل تطورًا إضافيًا للأفكار الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية،
أثبت الإطار الرياضي قوته بما يكفي لدمج مجالات جديدة للفيزياء الحرارية والكهرومغناطيسية
في القرن التاسع عشر، ونظرية الكم في القرن العشرين. - لذلك، تشتمل برامج البكالوريوس اليوم للعلماء والمهندسين المستقبليين دائمًا على عدة فصول دراسية مخصصة للهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل.
ولا تفوت قراءة مقالنا: موضوع الهندسة المكانية في الرياضيات
ظهور الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة وفي نهاية هذا المقال قدمنا لكم التدرج لظهور الهندسة التحليلية ودور العلماء فيها والفرق بينهم وكذلك العلاقة مع فروع الرياضيات الأخرى ؛ نتمنى أن تكون المقالة مفيدة لك وأعجبك!