مقدمة في المصفوفات

مقدمة إلى موقع Matrices يقدم لك موقع المصفوفات وهي مشكلة صعبة للعديد من الطلاب ولكن مع شرح بسيط وسهل يعتبر من أبسط أشكال العمليات الجبرية.

ما هو المقصود بالمصفوفات؟

يمكن تعريف المصفوفة على أنها ترتيب معين للأرقام في شكل أعمدة وصفوف، وعادة ما تتم كتابة المصفوفة كمربع مربع أو مستطيل.
تسمى الخطوط الرأسية في المصفوفة بالأعمدة، وتسمى الخطوط الأفقية بالصفوف.
يمكن التعبير عن أبعاد المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة وأبعاد المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة. على سبيل المثال، إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة هو 2 وعدد الأعمدة 3، ويتم التعبير عن أبعادها على النحو التالي: 2 × 3.
كل شيء داخل مصفوفة يسمى عناصر المصفوفة، سواء كانت أرقامًا أو رموزًا أو تعبيرات جبرية، وإذا كان عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة واحدة يساوي عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى .
لذلك، تعتبر المصفوفتان من نفس الحجم، ويمكن تسمية المصفوفة بأي حرف عربي، بينما في اللغة الإنجليزية يتم تمثيلها بأحد الأحرف الكبيرة.
بمعنى آخر، يتم تمثيل محتويات المصفوفة بعناصرها من خلال كتابة حرف.
- ما اسم المصفوفة واكتب رقم كل صف وعمود من العنصر تحت الحرف وهذا اسم المصفوفة.

ولا تفوت قراءة مقالنا: دراسات المصفوفات وتطبيقاتها

التطور التاريخي للمصفوفات

يمثل الشكل الأول لاستخدام المصفوفات في حل المعادلات باللغة الصينية ويسمى “تسعة أقسام للفن الرياضي”.
يتضمن أيضًا مبدأً تعريفًا يمكن تتبعه بين 300 قبل الميلاد. و 200 م.
في عام 1683، نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو عملاً عن المصفوفات.
تبعه العالم الألماني جوتفريد لايبنيز، الذي نشر ورقة بحثية عن المصفوفات عام 1693، ونشر غابرييل كرامر لاحقًا قواعده الحسابية في عام 1750.
ركزت نظرية المصفوفة المبكرة على دور المحدد بدلاً من استقلال المصفوفة.
ظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل عن آرثر كايلي ونظريته في المصفوفة فقط في عام 1858.
نظرية المصفوفة هي فرع من فروع الرياضيات تركز على دراسة المصفوفات والواقع.
يعتبر فرعًا من فروع الجبر الخطي، لذلك فهو يغطي فعليًا الموضوعات المتعلقة بنظرية الرسم البياني والجبر والتوافقية والإحصاء.
المصفوفة عبارة عن مجموعة مستطيلة من الأرقام وفي عام 1848.
كما صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة من الأرقام المرتبة.
في عام 1855، اقترح آرثر كايلي مصفوفة لتمثيل العناصر الخطية، وتعتبر هذه الفترة بداية لنظرية الجبر الخطي والمصفوفات.
تعتبر دراسة الفراغات المتجهة في مجالات معينة فرعًا مفيدًا من الجبر الخطي في نظرية التشفير.
مما يؤدي بطبيعة الحال إلى البحث عن المصفوفات واستخدامها في مجالات معينة من نظرية التشفير.
الوحدة عبارة عن تعميم لمساحة متجه، لذلك يتم التعامل معها على أنها مساحة متجه في الرسم التخطيطي.
أدى ذلك إلى دراسات حلقات المصفوفة، ونظرية المصفوفة ليست فرعًا من فروع الجبر الخطي في هذا المجال.
إذا كانت الحلقة المحددة ليست متبادلة.
وتعتبر نظرية ونتائج نظرية كيلي هاميلتون مقبولة إذا كانت حلقة معينة عبارة عن مجال بسيط ومثالي.
شكل سميث الطبيعي متوافق، لكن الباقي ينطبق فقط في حالة مصفوفة معقدة أو مصفوفة من الأعداد الحقيقية.

أنواع المصفوفات

توجد عدة أنواع من المصفوفات:

مصفوفة مربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة
مصفوفة سلاسل: مصفوفة تحتوي على سلسلة واحدة فقط
مصفوفة العمود: هذه مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط
مصفوفة خالية: هذه مصفوفة تتكون من أصفار فقط
كمصفوفة قطرية: إنها مصفوفة مربعة توجد عناصرها فقط على طول الخط القطري من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي.
أيضًا مصفوفة قياسية: هذه مصفوفة قطرية من عناصر متساوية مرتبة قطريًا من الجانب الأيمن العلوي إلى الجانب الأيسر السفلي
المصفوفة المثلثية العليا: هذه مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر وجميع العناصر التي تحتها صفراً.
المصفوفة المثلثية السفلية: هذه مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر القطرية صفرًا.
مصفوفة الهوية: هي مصفوفة قطرية ومصفوفة مربعة لها نفس عدد الصفوف والأعمدة ويمكن أن تحتوي على أي عدد من الصفوف والأعمدة، أي يمكن أن يكون لها أبعاد 2 × 2، 3 × 3.

أو حتى 100 × 100 والقطر يتكون من رقم واحد فقط وهو حالة خاصة من المصفوفة.

لأن نتيجة ضربها بأي قيمة مصفوفة أخرى تعطي نفس نتيجة المصفوفة الأخرى.

لا تتردد في زيارة مقالتنا: البحث عن المصفوفات وأنواعها

عمليات الجمع والطرح للمصفوفات

عند إضافة أو طرح مصفوفة في العمليات الحسابية للمصفوفة، يجب أن يكون الجمع والطرح متساويين.
بمعنى آخر، يجب أن يكون عدد الصفوف والأعمدة في صفيفين متساويًا، على سبيل المثال، إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة 3 صفوف و 5 أعمدة.
يمكن إضافته إلى صفيف آخر فقط عندما يكون عدد الصفوف 3 صفوف وعدد الأعمدة 5 أعمدة.
من ناحية أخرى، لا يمكن إضافته إلى مصفوفة أخرى، على سبيل المثال، عدد الصفوف هو 3 وعدد الأعمدة هو 4.

ضرب المصفوفة

هناك نوعان من ضرب المصفوفات:

الضرب النقطي: اضرب رقمًا في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
ضرب المصفوفات: هذا هو النوع الثاني حيث يتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض ويحدث فقط عندما يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية عندما يمكن ضرب مصفوفتين في كل منهما آخر.

لذا فإن أبعاد المصفوفة الناتجة هي: عدد صفوف المصفوفة الأولى × عدد أعمدة المصفوفة الثانية، وهناك مجموعة من الخطوات التي يجب إجراؤها عند ضرب المصفوفة

تأكد من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.

يتم ضرب كل عنصر من كل صف من الصف الأول للعنصر المقابل لكل عمود من المصفوفة الثانية على التوالي في المصفوفة الثانية ويتم جمع النتيجة.

محدد المصفوفة

يتم استخدام محدد المصفوفة في العديد من التطبيقات، مثل حل المعادلات الخطية، وإيجاد معكوس المصفوفة، وتطبيقات أخرى في الرياضيات. محدد المصفوفة له مزايا عديدة.
إنه رقم حقيقي إذا كانت المصفوفة مربعة، ولا يمكن إيجاد معكوس المصفوفة إلا إذا كانت الصيغة غير صفرية.
يتم استخدام المصفوفة العكسية لتمثيل محدد مصفوفة بنفس العلامة المستخدمة لتمثيل القيمة المطلقة.
على سبيل المثال، محدد المصفوفة A هو | A |. وطريقة العثور عليه بأبعاد مختلفة، أي حسب عدد الصفوف والأعمدة، والشرح التالي:
إذا كانت أبعاد المصفوفة تساوي 2 × 2، أي وهي مقسمة إلى صفين وعمودين ويمكن العثور عليها من خلال تطبيق القواعد التالية: محدد المصفوفة = (أقصى يمين × أدنى قيمة يسار) – (أقصى يسار × أدنى قيمة يمينًا).

مصفوفة معكوسة

يمكن تعريف المصفوفة العكسية على أنها المصفوفة وحاصل ضرب المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الوحدة، أي المصفوفة ذات الأقطار المتساوية.
العناصر المتبقية هي صفر، وتختلف طريقة إيجاد معكوس المصفوفة حسب أبعادها.

اقرأ هنا عن: الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية

هذه، عزيزي الطالب، نهاية موضوع اليوم.

نأمل أن نكون قد تمكنا من تقديم شرح مبسط لموضوع المصفوفات وما يرتبط بها من عمليات الجمع والطرح والضرب.

بالإضافة إلى دراسة التطور التاريخي للمصفوفات، وفي النهاية نتمنى لكم التوفيق.