يعد تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة من أكثر الموضوعات المطلوبة للطلاب من مختلف الدرجات، والفرق بين مربعين أو ما يسمى بفرق مربعي المصطلحين هو شكل من أشكال المعادلات الثانية مصطلح. القوة تربيعية، مما يعني مربع الحد الأول مطروحًا منه مربع الحد الثاني.
مفهوم الفرق بين مربعين
- قبل أن نشرح لك كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بالأمثلة، يجب أن نشرح لك أولاً ما هو مفهوم الفرق بين مربعين، لأن مفهوم الفرق بين مربعين هو أحد مفاهيم الرياضيات المدرجة في الجبر كمعادلة من الدرجة الثانية.
- يعتبر هذا المفهوم كقانون أيضًا أحد أشهر قوانين الرياضيات وأكثرها استخدامًا في مختلف العلوم وعلى مستويات مختلفة من تعلم الطلاب.
- أول من اكتشف المعادلات التربيعية التي تشمل فرق مربعين هو العالم الخوارزمي، حيث أن الأس فيها هو الرقم اثنان، وحل هذه المعادلات وإيجاد قيم المجهول فيها بعدة طرق.، وأهمها طريقة مقارنة مربعات حدين، والتي تساوي حاصل ضرب فرق هذين المصطلحين بمجموعهما.
- أي أن الفرق بين مربعي الحدين هو (الحد الأول – الحد الثاني) X (الحد الأول + الحد الثاني)، واسم مربعين أو مربع ذي الحدين يأتي من شكل المربع نفسه.
- حيث يعتبر المصطلح الأول هو طول ضلع المربع الأول، والحد الثاني هو طول ضلع المربع الثاني، والفرق بين مربعي هذين المصطلحين يعتبر الفرق بين مناطق المربعين أنفسهم.
ها أنت ذا: مخطط الرياضيات
تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بالأمثلة
1- كيفية التحقق من أن التعبير الجبري هو الفرق بين مربعين
- قبل أن نشرح بأمثلة طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات، يجب أن نتأكد أولاً من أن هذا التعبير الجبري أو هذه المعادلة هو شكل عام لقانون الفرق بين مربعي المصطلحين وأنه يمكن استخدامه لحلها.
- يتم تأكيد ذلك من خلال النظر في عدة أشياء، من بينها ملاحظة أن هذه المعادلة تحتوي على مصطلحين جبريين فقط وليس أكثر.
- بالإضافة إلى التأكد من أن الحدين مربعان كاملان، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فيجب أن نحاول إيجاد عامل مشترك بينهما إن أمكن.
- لاحظ إشارة كل مصطلح، حيث تكون إشارة المصطلح الكبير الأول موجبة وإشارة المصطلح الصغير الثاني المطروح من المصطلح الأول سلبي، بالإضافة إلى حقيقة أن الأس في كلا المصطلحين موجب ويساوي اثنين أو مضاعفاتها.
2- كيفية تحليل الفرق بين مربعين
- بعد التعرف على مفهوم الفرق بين مربعين وكيفية التحقق من شكله العام، ننتقل الآن إلى طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بأمثلة لما سنذكره باختصار كأسلوب التحليل. بسيط جدًا ومباشر، ويمكن للطلاب فهمه بسهولة باتباع الخطوات التالية.
- في البداية، كما قلنا، هناك محاولة للعثور على أكبر عامل مشترك بين كلا المصطلحين، وإذا كان موجودًا، فإننا نستخرجه من التعبير الجبري خارج الأقواس، مع الانتباه إلى ضربه في جميع العوامل الموجودة في نهاية عملية التحليل.
- ثم علينا إيجاد الجذور التربيعية لهذين الحدين، والجذر التربيعي هو المفهوم المعاكس تمامًا لمربع المصطلح، حيث يعني تربيع المصطلح منتج هذا العدد في حد ذاته، والجذر التربيعي يعني إيجاد الحد الذي نضربه في نفسه حتى نحصل على النتيجة.
- أي أن مربع الرقم ثلاثة هو منتج في حد ذاته، لذا نحصل على الرقم تسعة ونسميه مربع ثلاثة، ولإيجاد الجذر التربيعي للرقم تسعة، نعكس العملية ونبحث عن الرقم الذي نضرب في نفسها حتى لا نحصل على الرقم تسعة، إذن الإجابة هي العدد ثلاثة، ونسميها الجذر التربيعي للرقم تسعة.
- بعد تنفيذ الخطوات السابقة، نحاول أن نجعل الشكل العام للتعبير أو المعادلة الجبرية التي نريد تحليلها من شكل الفرق بين مربعين، والتي لها الشكل (Q2 – W2).
- ثم نفتح قوسين صغيرين للبحث. في الأقواس الأولى، نكتب التعبير عن مجموع الجذور التربيعية لحدين، أي مجموع الحدين نفسيهما، وبين القوسين المتبقيين – الفرق بين المربع جذور الحدين، أي الفرق بين الحدين أنفسهم مع علامة حاصل الضرب بين القوسين.
- ويتم الحصول على صيغة تحليل الفرق بين مربعين مع الرموز من الشكل التالي: (x2 – y2) = (x – y) X (x + z). (الفصل الأول – الفصل الثاني) مضروبًا في (الفصل الأول + الفصل الثاني).
من هنا يمكنك التعرف على: ما هي الخوارزميات في الرياضيات؟
3- أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين
يبحث معظم الطلاب عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة لتوضيح المفهوم وإصلاح طريقة التحليل في أذهانهم، حيث تشكل الأمثلة التي تم حلها جانبًا عمليًا يشرح المفاهيم النظرية ويربطها بالواقع ويدعمها. منهم أكثر. ونوضح لك كذلك أمثلة لتحليل الفرق بين مربعين.
المثال الأول
- على سبيل المثال، إذا تم تحليل السؤال إلى عوامل أولية 9 × 2-4، نلاحظ أن الحد الجبري الأول 9 × 2 هو مربع كامل وجذره التربيعي هو 3x، والحد الجبري الثاني 4 هو مربع كامل، الجذر التربيعي وهو رقم
- لتحليل الفرق بين مربعات المصطلحين السابقين، تقوم بتطبيق القانون الذي شرحناه في الخطوات السابقة، حيث تكون نتيجة عملية التحليل (3x – 2) X (3x + 2).
المثال الثاني
- على سبيل المثال، إذا طُلب من الطالب تحليل كثير الحدود في الشكل 3Q2-27، فإن الحالة مختلفة، لأننا وجدنا أن هناك عاملًا مشتركًا أكبر بين المصطلح الأول والمصطلح الثاني، وهذا العامل المشترك هو الرقم ثلاثة، لذلك نأخذ الرقم ثلاثة كأقواس قبل إجراء التحليل.
- بعد استخلاص العامل المشترك، يصبح صيغة التعبير الجبري 3 (x2_9)، وبما أن الرقم 3 غير موجود، يمكننا الآن تحليل الفرق بين المربعين لأنه بالشكل المطلوب، وبعد التحليل نعود ثلاثة أرقام خلف الأقواس لضربها في الكل.
- نجد أن الحد الجبري الأول هو مربع كامل جذره التربيعي x، والحد الجبري الثاني هو مربع كامل جذره التربيعي 3، لذا فإن تحليل كثير الحدود السابق هو 3 (x – 3) X (x + 3)، ومن المعروف أننا إذا لم نضع أي إشارة بين الرقم والأقواس التي تليها، فالعملية تعني الضرب.
المثال الثالث
- عندما يبحث الطلاب عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات باستخدام الأمثلة، فإنهم غالبًا ما يبحثون عن حل لتمارين معقدة أو مختلفة قليلاً، على سبيل المثال، إذا كان التعبير الجبري بالصيغة _4 + x2، نلاحظ ذلك شكل هذا التعبير ليس الشكل العام للفرق بين مربعين.
- في هذه الحالة، قد يكون من الصعب على الطالب تحليلها، لذلك سنوضح لك كيفية القيام بذلك بسهولة. في هذا المثال، نقوم بالتبديل بين أماكن هذين المصطلحين بحيث تكون القيمة بالشكل Q2-4، وبالتالي يصبح الشكل التقليدي الذي يمكننا تطبيق قانون تحليل الفرق بين مربعين عليه.
- الحد الأول هو x 2 وجذره x، والحد الثاني هو 4 وجذره 2، وبالتالي فإن نتيجة التحليل هي (x – 2) X (x + 2).
ننصحك بقراءة مقال: ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟
وهكذا وصلنا إلى نهاية هذا المقال الذي شرحنا لكم فيه طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بأمثلة كافية وكاملة على ذلك، بالإضافة إلى شرح مفهوم المربعات ذات الحدين وأين هي. جاء من نتمنى أن تكون هذه المقالة مفيدة لك.