الأولويات الحسابية. في الرياضيات، عندما يُطلب منك تبسيط شيء مثل “4 + 2 × 3″، فإن السؤال الطبيعي هو، كيف أفعل ذلك؟ لأن هناك خياران!
إذا كان بإمكاني الجمع أولاً وستكون النتيجة: 4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18 أو يمكنني الضرب أولاً وستكون النتيجة: 4 + 2 × 3 = 4 + ( 2 × 3) = 4 + 6 = 10، أي إجابة صحيحة؟ تابع المقالات الموجودة على الموقع للتعرف على أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات.
الأولوية الحسابية
يبدو أن الإجابة تعتمد على الطريقة التي تنظر بها إلى المشكلة، لكن لا يمكننا أن نتمتع بهذه المرونة في الرياضيات.
لن تعمل الرياضيات إذا لم تكن متأكدًا من الإجابة أو إذا كان من الممكن حساب نفس التعبير بالضبط.
لذلك، يمكنك الحصول على إجابتين مختلفتين أو أكثر، بشرط تطابقهما في النتيجة.
لتوضيح هذا الالتباس، لدينا بعض قواعد الأسبقية أو الأسبقية التي تم وضعها منذ القرن السادس عشر على الأقل.
يُعرف باسم “ترتيب العمليات” وهو الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس والتجميع.
ترتيب هذه العمليات على النحو التالي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.
يمكن وصفها على النحو التالي: تغلب الأقواس على الأس، الذي يتفوق على الضرب والقسمة (لكن الضرب والقسمة يسيران بنفس الترتيب).
الضرب والقسمة لهما الأولوية على الجمع والطرح (كلاهما بترتيب أقل)، بمعنى آخر، الأولوية:
- الأقواس (تبسيط الأرقام الموجودة بين قوسين).
- ضمير.
- الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار للأرقام العربية ومن اليسار إلى اليمين للأرقام الإنجليزية).
- الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار للأرقام العربية ومن اليسار إلى اليمين للأرقام الإنجليزية).
اقرأ أيضًا: ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟
اتجاه حل المشكلة
إذا كانت لديك مجموعة من العمليات من نفس الرتبة، فأنت تعمل من اليسار إلى اليمين.
على سبيل المثال، “15 ÷ 3 × 4” ليس “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4″، بل بالأحرى “15 ÷ (3 × 4) = 15 12”.
لأن الانتقال من اليسار إلى اليمين، سترى أن الانقسام حدث أولاً.
إذا لم تكن متأكدًا، فتحقق من ذلك في الآلة الحاسبة الخاصة بك، والتي تمت برمجتها باستخدام التسلسل الهرمي لترتيب العمليات.
على سبيل المثال، إذا قمت بكتابة التعبير أعلاه في آلة حاسبة بيانية، فستحصل على:
20 = 15 3 × 4
باستخدام التسلسل الهرمي أعلاه، نرى هذا في السؤال “4 + 2 × 3” في بداية هذه المقالة.
الخيار الثاني (الذي قيمته 10) هو الإجابة الصحيحة لأننا نحتاج إلى الضرب قبل عملية الجمع.
سبب ترتيب العمليات الحسابية
تم تطبيع ترتيب العمليات لمنع سوء الفهم، ولكن يمكن أن يتسبب نظام PEMDAS في حدوث ارتباك خاص به.
يميل بعض الطلاب أحيانًا إلى تطبيق التسلسل الهرمي كما لو كانت جميع العمليات على نفس “المستوى” (الانتقال ببساطة من اليسار إلى اليمين)، ولكن غالبًا لا تكون هذه العمليات “متساوية”.
في كثير من الأحيان، يتم حل المشكلات من الداخل وليس من اليسار إلى اليمين.
نظرًا لأن بعض أجزاء التمارين غالبًا ما تكون “أعمق” من غيرها، فإن أفضل طريقة لشرح ذلك هي إعطاء بعض الأمثلة:
- بسّط التعبير: 32 + 4
الحل: في هذا المثال، نحتاج إلى تبسيط المصطلح عن طريق تحديد الأس قبل محاولة إضافة الرقم 4. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:
13 = 9 + 4 = 32 + 4، إذن التعبير المبسط هو 13
مثال
- بسّط التعبير: 2 (1 + 2) + 4
الحل: في هذا المثال، نحتاج أولاً إلى تبسيط الأرقام الموجودة بين الأقواس قبل أن نتمكن من تجاوز الأس.
وعندها فقط نضيف الرقم 4 بعد ذلك، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:
13 = 9 + 4 = 2 (3) + 4 = 2 (1 + 2) + 4، لذا فإن التعبير المبسط هو 13
مثال آخر
- بسّط المجموع 2 [(1 – 2-) 1-] + 4
لا يجب أن أحاول جعل هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين لأن هذه الطريقة عرضة للخطأ فقط.
بدلاً من ذلك، سنحاول العمل من الداخل. أولًا، نبسط الأرقام الموجودة بين قوسين معقوفين.
وبعد ذلك سنبسط ما يوجد داخل الأقواس المربعة، وعندها فقط سنقوم بعملية التربيع.
بمجرد الانتهاء من ذلك، يمكننا أخيرًا إضافة الرقم 4، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:
2 [(1 – 2-) 1-] + 4
2[(3-) 1-] + 4 =
2[3] + 4 =
9 + 4 =
13 =
استخدام الأقواس المعقوفة ليس له معنى خاص (“[” و “]»أعلاه)، بدلاً من الأقواس.
يتم استخدام الأقواس المتعرجة والأقواس المتعرجة (الحرفان “{” و “}”)، عند تداخلهما، للمساعدة في تتبع الأقواس المستخدمة مع الأقواس.
أيضًا، يتم استخدام رموز التجميع المختلفة فقط للراحة، على غرار ما يحدث في جدول بيانات Excel عند إدخال صيغة باستخدام الأقواس:
يتم ترميز كل مجموعة من الأقواس بالألوان حتى تتمكن من معرفة الأزواج التي هي:
مقالة – سلعة
- بسّط التعبير: (4/3 + 2 / 3-) 4
الحل: أولاً، نبسط الأرقام الموجودة بين قوسين. يمكن وصفها كما يلي:
(4/3 + 2 / 3-) 4
أيضا (3/4 + 2-) 4 =
أيضا (3/2) 4 =
3/8 =
إذن، قيمة التعبير المبسط هي 3/8
مشاكل التبسيط
تنشأ معظم المشكلات المتعلقة بتبسيط ترتيب العمليات من الأقواس المتداخلة، والأس، وعلامات الطرح.
لذلك، في الأمثلة التالية، سنشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.
مثال
- بسّط التعبير: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3-4
الحل: نقوم بتبسيط التعبير داخليًا: أولاً الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع تذكر أن علامة الطرح في 3 قبل الأقواس تساوي 3.
والآن، فقط بعد أن نجمع الأجزاء، سنقوم بالتقسيم متبوعًا بإضافة الرقم 4. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:
2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3-4
2 ÷ [(3) 2 – 4] 3-4 =
أيضا 2 ÷ [6 – 4] 3-4 =
بينما 2 ÷ [2-] 3-4 =
أيضًا، 2 6 + 4 =
النتيجة هي 3 + 4 =
7 =
إذن، قيمة التعبير المبسط هي 7
مثال آخر
- بسّط التعبير: 5 ÷ 2 (3-8) 3 – 16
الحل: يجب أن تتذكر أنه يجب عليك التبسيط بين الأقواس قبل تنفيذ عملية التربيع.
نظرًا لأن الرقم 2 (3-8) يختلف عن 32-82، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:
5 ÷ 2 (3-8) 3-16
وهي تساوي أيضًا 5 2 (5) 3-16 =
5 ÷ (25) 3-16 =
بينما 5 75-16 =
ونصل إلى 15-16 =
1 =
لذلك، فإن القيمة المبسطة للتعبير هي 1.
اخترنا لك: ما هي الخوارزميات في الرياضيات؟
المتغيرات في العمليات الحسابية
إذا تعرفت على المتغيرات والجمع بين المصطلحات، فقد ترغب أيضًا في الاطلاع على هذه التمارين:
- بسّط المجموع: [(14x + 5 [6 – (2x + 3
الحل: إذا واجهت مشكلة في أخذ عملية طرح من خلال قوسين، فيمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 في الأقواس (لاحظ اللون الأحمر المميز “1” أدناه):
[(14x + 5 [6 – (2x + 3
أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3 =
[14x + 5[6 – 2x – 3 =
بينما يكون [14x + 5[3 – 2x =
14x + 15 – 10x =
4x + 15 =
وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 4x + 15
مثال
- بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –
الحل: عليك أن تتذكر تبسيط كل خطوة والجمع بين المصطلحات المتشابهة متى وأينما يمكنك:
{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =
أيضًا 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =
{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =
بينما {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =
{2x + 1 – 3x + 6x} – =
أيضًا إذا كانت {2x + 6x – 3x + 1} – =
حيث {5x + 1} – =
5 س – 1- =
لذلك، فإن القيمة المبسطة للتعبير هي 5x – 1.
التعبيرات التي تحتوي على صيغ الكسور
يمكن أن تكون التعبيرات ذات الصيغ الكسرية محيرة أيضًا، طالما أنك تعمل بالبسط (على سبيل المثال، الجزء العلوي).
والمقام (أي الجزء السفلي) بشكل منفصل، حتى يتم تبسيطهما بالكامل أولاً، وعندئذٍ فقط يتم إضافتهما (أو تقليله) إن أمكن، يجب أن يكون جيدًا.
وعندما تُضاف صيغة كسرية إلى مصطلح آخر أو تُطرح منه، سواء كانت كسرية أو غير ذلك.
تأكد من تبسيط شكل الكسر وتقليله تمامًا قبل محاولة الجمع أو الطرح.
- بسّط التعبير: (1-4) + 5/2 (2 + 1) + (2 – 3)
الحل: هذا يعمل تمامًا مثل الأمثلة السابقة ؛ ما عليك سوى النظر إلى البسط بشكل منفصل عن المقام.
لذلك ينتهي بك الأمر بجزء يمكن (ربما) تبسيطه، والذي يمكن وصفه بأنه:
(1-4) + 5/2 (2 + 1) + (2-3)
أيضا (3) + 5/2 (3) + (1) =
8/9 + 1 =
يساوي أيضًا 8/10 =
وأخيرًا، 4/5 =
إذن، القيمة المبسطة للتعبير هي 4/5
إقرأ أيضاً: أهمية الجبر في الرياضيات
كان هذا موجزًا عن أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات، نأمل أن تساعدك المقالة، ولمعرفة المزيد من موضوعات الرياضيات، يمكنك مراجعة قسم الرياضيات في موقع Maqsal، لفهم أفضل!