بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل

البحث الكامل عن المتتاليات والمتتاليات الحسابية والهندسية في هذه الدراسة، سوف نستكشف موضوع خصائص وأنواع المتتاليات والتتابعات الحسابية والهندسية بشكل كامل.

نظرًا لأن هذا من الموضوعات المهمة في الرياضيات، خاصة لطلاب المرحلتين الإعدادية والمتوسطة، وهو موضوع سهل إذا تعاملنا معه بسهولة وبساطة، ستنظر الدراسة في كل منهم بأمثلة.

مقدمة عن الدراسة الشاملة للتسلسلات والمتتاليات الحسابية والهندسية

يلعب تفسير وفهم التسلسلات دورًا كبيرًا في البناء الرياضي، حيث توجد العديد من التطبيقات الرياضية التي تستخدم الرياضيات لإثبات أو الوصول إلى استنتاجات تخدم العلوم الأخرى وتتعلق بها. والمسلسلات.

انظر أيضًا: دراسة الاستدلال والإثبات في الرياضيات، doc

تعريف متسق

المتتاليات هي مجموعة من الأرقام، ولكل رقم فيها نمط مرتبط بما يأتي قبله وبعده. عادة، تتبع التسلسلات نمطًا معينًا وترتيبًا خاصًا يحكم كل رقم فيه، ويطلق على كل رقم فيه رقم محدد.
مثال التسلسلات: إذا افترضنا أن لدينا مربعات متتالية وكل صندوق به عدد من الكرات، فإن ترتيب الصندوق هو الحد، وليس المربع نفسه هو الحد، ويطلق على عدد الكرات داخل الصندوق القيمة المحددة .
أو إذا افترضنا أن لدينا قطارًا وهناك عشرون سيارة في القطار وكل سيارة بها عدد من الركاب والسيارات هي أرقام الحد وعدد الركاب هو الحد الأقصى، فمثلاً السيارة رقم 15 بها حوالي 12 راكبًا، الرقم 15 هو رقم الحد والعدد 12 هو الحد.

أنواع التسلسل

هناك أنواع من التسلسلات التي لها تسلسل محدود، وهو عبارة عن تسلسل يتم التعبير عن عدد مصطلحاته بالرمز n ووظيفة مجالها هي {1، 2، 3، 4، …، n} ومجالها المقابل هو h.
التسلسل اللانهائي هو دالة موجودة في مجال الأعداد الطبيعية، يُشار إليها بالرمز i، والحقل المقابل لها هو الأرقام الحقيقية، ويُشار إليها بالرمز h.

تعريف السلسلة

السلسلة هي مجموع شروط التسلسل، حيث تتطلب السلسلة وجود تسلسل، وقد أوضحنا التسلسل سابقًا، ويجب أن تنطبق هوية السلسلة على التسلسلات.

لأن السلسلة هي مجموع المصطلحات في تسلسل، والسلسلة موجودة كأرقام متتالية بالإضافة إلى متتاليات.

تحديد المتتاليات الحسابية

سواء أكان التسلسل محدودًا أم لا نهائيًا، يُسمى التسلسل الحسابي، وإذا وجدنا أن التسلسل يزداد برقم ثابت، نظرًا لأن النتيجة هي رقم ثابت، فعند طرح أي مصطلح لاحق من المصطلح السابق، فهو تسلسل حسابي .
إذا كان الاختلاف لجميع قيم n في التسلسل وكان الرمز r هو رمز الفرق الثابت أو الأساس الثابت للتسلسل.
وقانون إيجاد أي حد في متتالية حسابية هو هذا: (الحد n، أو نقول إن الحد الأول هو رقم الحد ناقص 1، و r هو فرق ثابت.
تعريف المتتالية الحسابية من الضروري معرفة ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم لا، وذلك بحساب فرق المصطلحات وفقًا للقانون التالي: (a2-a1)، (a3-a2)، (a4-a3).
إذا كان: ((a2-a1) = (a3-a2) = (a4-a3) يكون التسلسل حسابيًا، لكن في حالة (a2-a1) ≠ (a3-a2) ≠ (a4-a3)، سيكون التسلسل متسلسلًا ليس حسابا.
المتتاليات المحدودة من الشكل: d {1،2،3، …، m} → h، بينما التسلسلات اللانهائية هي: d: i → h.
{h} عبارة عن تسلسل حسابي إذا كان هناك رقم ثابت d مثل d = hn +1 – hn لجميع قيم n، ويسمى d أساس المتسلسلة.

راجع أيضًا: إيجاد برهان جبري كامل

مثال على متتالية حسابية

مثال: التسلسل التالي الذي نسميه {h} = {15،11،7،3،…} هل هو تسلسل حسابي أم لا؟ دعنا نحل: نحتاج إلى الحصول على القيمة الثابتة لجميع القيم في المتسلسلة، ونجد أن الفرق بينها يساوي عددًا، وهو الرقم (4)، وهو حسابي.
مثال آخر لنفس القانون: أوجد الحد الثالث عشر في التسلسل الحسابي التالي: {1، -3، -7، -11،….} الحل كما يلي: أساس المتتابعة = (-3-1 = -4) للحد الأول، ثم (H13) = 1 + (13-1) x -4 = 1 + (-48) = -47.
مثال آخر للتوضيح: إذا كان مجموع ثلاثة حدود متتالية في متتالية حسابية هو 6، وحاصل ضربهم -42، فما هي المصطلحات الثلاثة؟ الحل: {-3، 2، 7}.

بعض الملاحظات على المتتالية الحسابية

الحد النوني من المتتالية الحسابية: h = a + (n – 1) d، a هو الحد الأول، d هو أساس المتسلسلة.
والمتوسط الحسابي بين عددين A و B هما حدود المتسلسلة، حيث أن الحد الأول هو A والحد الأخير فقط هو B.
مثال للملاحظات: هل المتتالية {h} = {15، 11، 7، 3، …..} حسابية أم لا؟ التسلسل حسابي لأن hn +1 – hn = 4 لجميع القيم.
مثال آخر: ابحث عن الحد الثالث عشر (h13) في التسلسل الحسابي التالي: {1، -3، -7، -11، ….}، أساس المتسلسلة (د) = -3-1 = -4 لذا فإن المصطلح الأول (أ) = 1، ثم h13 = 1 + (13-1) × -4 = 1 + (- 48) = – 47.
مثال للتوضيح، أدخل خمس وسائل حسابية بين العددين التاليين للحصول على التسلسل الحسابي -13، 245 ؟. الحل: أ = -13، ع = 245، ن = 7، د =؟ وفقًا للقانون h = a + (n – 1) d، 245 = -13 + (7-1) xd، ثم d = 43، وبالتالي فإن المتوسطات هي: 30، 73، 116، 159، 202.

متواليات هندسية

قد تكون المتتاليات الهندسية محدودة أو غير محدودة، وتسمى هندسية عندما نجد أن لها عددًا ثابتًا بحيث يكون قسمة أي حد تالٍ بالمصطلح الذي يسبقه مساويًا لهذا العدد الثابت.
لجميع قيم n، يسمى r فرقًا ثابتًا أو أساس التسلسل.
لإيجاد أي حد في تسلسل هندسي، نستخدم القانون: الحد النوني، الحد الأول، رقم الحد ناقص 1، الفرق الثابت.
لتحديد ما إذا كان التسلسل هندسيًا أم حسابيًا أم لا، يجب أن نشير إلى النسبة (a2 / a1) والنسبة (a3 / a2) والنسبة (a4 / a3)، وبالتالي يمكننا إلقاء نظرة على المثال التالي: إذا كان: (a2 / a1) = (a3 / a2) = (a4 / a3)، يكون التسلسل هندسيًا.
في حالة (a2 / a1) ≠ (a3 / a2) ≠ (a4 / a3)، يكون التسلسل غير هندسي.
دعنا نعطي مثالا، هل التسلسل التالي هندسي أم لا؟ ننظر إلى هذا التسلسل لنرى ما إذا كان هندسيًا أم لا {3، 6، 12،… ..}؟ الحل هو: التسلسل صحيح وهندسي لأن قيمة النسبة الثابتة (6/3) = (12/6) هي (2).
مثال آخر: ابحث عن الحد العاشر في التسلسل التالي: {2/1، -2،1،….}. الحل: هذا التسلسل هندسي والحد الأول = 2/1 والنسبة الثابتة على التوالي = (-1 ÷ 2/1 = -2) لذا (H10) = 2/1 x -92 = 2/1 x (-512 ) = 256.

أنظر أيضا: دراسة الحفاظ على الزخم والدفع

ملاحظات على التسلسلات الهندسية

الحد النوني من المتتالية الهندسية: hn = a rn – 1، حيث a هو الحد الأول، t هو أساس المتتابعة.
المتوسط الهندسي بين عددين a و b هو حدود تسلسل يكون فيه الحد الأول a والحد الأخير هو b.
إذا كانت الأرقام أ، ب، ج عناصر متتالية هندسية، فإن ب هو الوسط الهندسي، حيث:
أ / ب = ب / ج → ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ × ج.

تمارين على التسلسل الهندسي

أوجد عدد الحدود من 13 إلى 100 التي يقبل كل منها القسمة على 6؟ (n = 14 حدًا والحد الأخير = 96. الحل: التسلسل هندسي ونستخدم t = hn +1 ÷ hen لجميع قيم n و t يسمى أساس الاستمرارية.
على سبيل المثال، حدد ما إذا كان التسلسل التالي هندسيًا أم لا: 3، 6، 12، …..؟، التسلسل هندسي لأن ÷ = 2 لجميع قيم n.

استخدم التسلسلات

المتتاليات هي مجموعة من الأرقام ذات نمط معين، وتستخدم في العديد من العمليات التي يعتمد عليها البناء، ويعتمد عليها البناء الرياضي، وتستخدم في العديد من برامج الرياضيات.
على سبيل المثال، غالبًا ما يتم استخدام التسلسلات عندما نحتاج إلى التخطيط للديون المتبقية على الشخص، ويتم استخدام التسلسلات لحساب الأقساط وفي المعاملات الأخرى، وخاصة المعاملات المصرفية.

أنظر أيضا: دراسة الكهربية في الكيمياء

استنتاج حول البحث الكامل عن المتتاليات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

هنا وصلنا إلى نهاية البحث عن المتتاليات والمتتاليات الحسابية والهندسية، حيث تناولنا بعض الأمثلة على المتتاليات الحسابية والأمثلة المضاعفة للتسلسل الهندسي.

كما تحدثنا عن استخدام المتتاليات وكيفية تطبيقها على العديد من الأسئلة، وقدمنا أمثلة وأسئلة واقترحنا حلولاً لها لتثقيف القارئ وتوصيل المعلومات الواردة في الدراسة بوضوح.