يمكن تعلم قانون حساب الوتر في المثلث القائم من خلال نظرية فيثاغورس التي توضح العلاقة بين أضلاع المثلث والوتر الخاص به، نظرية فيثاغورس الكاملة.
مثلث قائم
- المثلث القائم الزاوية هو أحد أنواع المثلثات التي لها زاوية قائمة قياسها 90 درجة. يُعرف أطول ضلع في المثلث بالوتر، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة. يُعرف الجانبان الآخران من المثلث بأرجل المثلث.
انظر أيضًا: قانون محيط المثلث بعلامات تقليدية
الوتر في مثلث قائم الزاوية
- تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي: “في المثلث القائم الزاوية، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات أطوال الضلعين المتاخمين للزاوية القائمة”.
- مما سبق، نستنتج أن مربع طول الوتر في مربع مستطيل يساوي مربع أطوال ضلعي الزاوية القائمة.
مثال توضيحي
- في مثلث قائم الزاوية أ، ب، ج
من هذا يتضح لنا أن وتر المثلث يساوي AB، وبالتالي يمكن تسمية كل ضلع من أضلاع المثلث بحرف على النحو التالي:
- أب = ج، أ = ب، ب ج = أ.
- أي، b c2 + c2 = ab2، أو يمكن أن يُقال على النحو التالي: a2 + b2 = c2.
- تفيد نظرية فيثاغورس في تحديد طول أحد ضلعي المثلث القائم إذا كانت أطوال ضلعي المثلث الآخرين معروفة.
- على سبيل المثال: إذا كان أ = 4، ب = 3.
- ومن ثم نستنتج أن a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2.
- مما سبق، نستنتج أن ج = 5.
مثال آخر معبر
- ما طول وتر المثلث في مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 4 سم وارتفاعه 3 سم؟
المحلول:
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- مربع الوتر = 16 + 9 = 25 سم.
- بعد الحصول على الجذر التربيعي، نستنتج أن مربع الوتر = 5 سم.
مثال آخر معبر
- إذا كان هناك مثلث طول ضلعه الأول 5 سم، والضلع الثاني 3 سم، والوتر 7 سم، فأنت بحاجة إلى إثبات أن المثلث قائم الزاوية.
المحلول:
سوف نتبع نظرية فيثاغورس في الحل على النحو التالي:
- مربع الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- ومربع الوتر = 49
- مربع الضلع الأول = 25
- مربع الضلع الآخر = 9
- بالتعويض، نحصل على المعادلة التالية: 49 = 25 + 9، لذا 49 = 34.
- بعد التعويض في القانون، يتضح لنا أن مربع ضلعي المثلث لا يساوي مربع الوتر، ومن هنا نستنتج أن المثلث ليس قائم الزاوية.
نظرية عكس نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس المعكوسة على ما يلي:
- (في المثلث، إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الآخرين، فهذا المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر.)
معرفة طريقة قانون جيب التمام للزاوية عند حساب طول الوتر في المثلث
- يشير مصطلح جيب التمام لزاوية أو ظل إلى علاقات مختلفة بين زوايا المثلث القائم أو بين أضلاعه، ويمكن تعريف جيب الزاوية في المثلث القائم على أنه طول الضلع المقابل للزاوية بعد القسمة على وتر المثلث.
- تحتوي الآلة الحاسبة على زر مخصص للجيب، وهو زر يسمى الخطيئة، ويمكنك استخدامه بالضغط عليه ثم إدخال قياس الزاوية التي تريد إيجاد جيبها بالدرجات.
- من الضروري معرفة قانون الجيب لتسهيل حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية، حيث ينص القانون على ما يلي: / ga c).
- يجب استخدام الأحرف A و B و C لتسمية أضلاع المثلث، ويجب كتابة الحرف “c” على أطول ضلع في المثلث، وهو الوتر، ويجب تشغيل الحرف “A” . على الجانب الذي نعرف طوله، ونطلق على الجانب الآخر الحرف B لتبسيط عملية المحاسبة.
- يجب أيضًا تسمية الزوايا في المثلث بالأحرف، بشرط أن يكون الحرف C هو الزاوية المقابلة للوتر، وهي زاوية قائمة، والحرف A هو الزاوية المقابلة للضلع A، والحرف B هو الزاوية المقابلة للضلع B.
حساب وتر المثلث القائم الزاوية باستخدام النسب المثلثية
تعد النسب المثلثية مفيدة لحساب جوانب المثلث القائم الزاوية إذا كان قياس أي زاوية في المثلث غير القائم الزاوية معروفًا وطول أحد أضلاع المثلث معروفًا. فيما يلي شرح لكيفية استخدامه:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- cos = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
- tan = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.
أنظر أيضا: مساحة المثلث الأيمن و متساوي الأضلاع
مثال مرئي للاستخدام
- إذا كان abc مثلثًا قائم الزاوية عند b، وطول الضلع bc يساوي 7 cm، ودرجة قياس الزاوية c = 53 °، فأوجد قياس الوتر أج والجانب AB.
المحلول:
- يمكن حساب طول الضلع AB باستخدام ظل الزاوية، والضلع AB المقابل للزاوية c.
- ومن ثم نستنتج أن: za c = ab / bc = za 53 = ab / 7.
- AB = 7 × 1.33 = 9.29 سم.
وبالتالي، يمكن إيجاد الوتر باستخدام طريقة جيب التمام أو طريقة نظرية فيثاغورس، والآن سنحسب طوله باستخدام طريقة جيب التمام على النحو التالي:
- = الضلع المجاور للزاوية ج / الوتر.
- كوس 53 = ب ج.
- الوتر = 7 / وتر.
- الوتر = 0.6 / 7 = 11.7 سم.
مثال آخر معبر
- في المثلث القائم الزاوية إحدى زواياه تساوي 67 درجة والضلع المقابل للزاوية 24 سم، أوجد طول الوتر.
المحلول:
هنا، يمكن استخدام طريقة جيب التمام لحساب طول الوتر على النحو التالي:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- الخطيئة 67 = 24 / وتر المثلث.
- الوتر = 26.1 سم.
مثال آخر معبر
- إذا كانت زاوية المثلث القائم 5 ° والوتر 6 cm، فما طول الضلع المقابل للزاوية 50 °؟
المحلول:
نظرًا لأن لدينا طول الوتر، وهنا نحتاج فقط لحساب طول الضلع المقابل للزاوية، لذا يمكننا استخدام طريقة جيب التمام بالخطوات التالية:
- الجيب = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- sin 50 = الضلع المقابل للزاوية / 6.
- الضلع المقابل للزاوية 50 = 4.6 سم.
مثال آخر معبر
- إذا كان هناك مثلث قائم طول وتره 10 سم وطول أحد ضلعه 8 سم، فما طول الضلع الآخر؟
المحلول:
في هذه المعادلة، سنتبع نظرية فيثاغورس في حساب طول أحد أضلاع المثلث بالخطوات التالية:
- بالتعويض عن a2 + b2 = c2 في القانون، نستنتج أن 82 + b2 = 102.
- إذن، b2 = 36، وبأخذ الجذر التربيعي، نستنتج أن b = 6 cm.
مثال آخر معبر
- إذا كان هناك مثلث قائم الزاوية طول ضلعه 9 سم والوتر 15 سم، فما طول الضلع الآخر من المثلث؟
المحلول:
- تطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر = مربعان من طول ضلعي المثلث.
من التعويض في القانون نستنتج ما يلي:
- 152 = 92 + طول الضلع الآخر يساوي 2.
- بطرح 81 من كلا الطرفين، نحصل على أن طول الضلع الآخر هو 2 = 144.
- بحساب الجذر التربيعي، نحصل على طول الضلع الآخر = 12 سم.
راجع أيضًا: التعبير عن محيط المثلث
بهذا نختتم مقالنا عن قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية والذي تعلمنا فيه أهم الطرق لحساب الوتر ونأمل أن تستمتع بالمقال.