إيجاد وإثبات الهويات المثلثية. تعتبر الهويات المثلثية من أهم فروع الرياضيات التي تعنى بدراسة العلاقة بين الزوايا وأضلاع المثلثات. يحتوي فرع علم المثلثات على العديد من العلاقات مع فروع الرياضيات الأخرى، مثل حساب التفاضل والتكامل والأرقام المركبة والمتسلسلة اللانهائية واللوغاريتمات.
مقدمة في الهويات المثلثية وإثباتها
يعرف علم المثلثات بأنه العلم الذي يتعامل مع العلاقات بين زوايا المثلثات والأضلاع المقابلة في تلك المثلثات. والعديد من الأسئلة العملية الأخرى.
انظر أيضًا: البحث عن التهديدات التي يتعرض لها التنوع البيولوجي وطرق الحفاظ عليه
ما هو علم المثلثات؟
- علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع مسائل تتعلق بالمثلثات، حيث يتعامل مع دراسة المسافة بين الأضلاع وبعضها، وتحديد قياسات الزوايا المختلفة في المثلث.
- علم المثلثات هو مجال مفيد للغاية حيث يتم استخدامه في العديد من مجالات العلوم الأخرى مثل الهندسة الميكانيكية والتطبيقات الإلكترونية وغيرها من المجالات.
- علم المثلثات يهتم أيضًا بالدوال المتعلقة بالزوايا التي يمثلها جيب الزاوية وجيب الزاوية وظل الزاوية.
ما هو مفهوم الهويات المثلثية؟
تُعرَّف الهويات المثلثية أو المعادلات المثلثية على أنها متطابقات تتكون من مجموعة من الدوال المثلثية، وهذه الهويات مهمة جدًا لأنها تُستخدم في حل المعادلات الرياضية، وخاصة عكس الدالة.
تعريف المثلث
يعتبر المثلث من أهم الأشكال الهندسية في الجبر والهندسة، وهذا المثلث له تكوين مختلف عن أي شكل آخر، ويتكون من رأس مثلث وضلعين آخرين، ويصبح هذا الشكل 180 درجة، ويوجد 3 أنواع عدد المثلثات (مثلث متساوي الأضلاع – متساوي الساقين – الزاوية اليمنى).
مثلثات متساوية
هناك مجموعة من الحالات التي تكون فيها المثلثات متطابقة، أي أن المثلثات متشابهة أو متطابقة على الجوانب المقابلة، والزوايا المقابلة أيضًا متطابقة، أو كلاهما، وحالات تطابق المثلثات هي كما يلي:
- إذا كانت ثلاثة أضلاع في المثلث متساوية في القياس مع المثلثات الأخرى، وبالتالي فإن الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع في كل من المثلثين متساوية، ففي هذه الحالة يمكن القول أن المثلثين متساويان.
- إذا كان للمثلثين زاوية قياس معروفة وضلعان متجاوران، فإن الزاوية المقابلة في المثلث الثاني ونفس الأضلاع متساوية في القياس في المثلث الثاني، وفي هذه الحالة يمكننا القول إن المثلثين متطابقان.
- إذا كان لمثلث متساوي الساقين زاويتان وضلع به زاويتان متناظرتان وضلع في مثلث آخر، فيمكننا القول إن المثلثين متطابقان.
انظر أيضًا: إيجاد الزوايا والخطوط المتوازية في الرياضيات
أنواع الهويات المثلثية وإثباتها
توجد مجموعة من الهويات المثلثية بشكل أساسي، ومن أهم أنواع هذه الهويات المثلثية:
هويات العامل
تشمل الهويات الخاصة ما يلي:
- y = cos x ÷ cos y، حيث x هي ظل الزاوية، و cos هي جيب الزاوية، و cos هي جيب تمام الزاوية، و y هي الزاوية.
- الوقت y = cos x ÷ cos x، حيث cos هو قاطع الزاوية.
- الهويات المتبادلة
- يشمل معكوس الرقم الصدف التالية: –
- Cos y = 1 ÷ cos x، cos = 1 cos y، حيث s تشير إلى قاطع الزاوية و q تشير إلى جيب تمام الزاوية.
- tan y = 1 ÷ zy y لأن tan يشير إلى ظل التمام.
- هوية فيثاغورس
- تشمل هويات فيثاغورس التالية: –
- cos2 r + sin 2 y = 1 q2 r – tan 2 y = 1 q2 y – q2 r = 1
نظرية فيثاغورس
- تعد نظرية فيثاغورس واحدة من أشهر النظريات المطورة في علم المثلثات، وتستخدم هذه النظرية لتحديد طول الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلث.
- تستند هذه النظرية إلى حقيقة أن مربع طول الوتر يساوي مربع طول الضلع الأول ويضاف إليه مربع طول الضلع الثاني. ويستخدم قانون فيثاغورس رياضيًا من خلال :
- مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول من المثلث + مربع طول الضلع الثاني من المثلث القائم.
- يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس في الحالة المعاكسة، إذا كان مربع طول الضلع الأكبر يساوي مربع أحد جانبي المثلث المضاف إلى مربع طول الضلع الآخر، فإن المثلث يكون الزاوية اليمنى.
أهم تطبيقات علم المثلثات في الحياة
هناك العديد من التطبيقات التي تستخدم علم المثلثات وتستفيد من قواعده، ومن أهم هذه التطبيقات:
- علم الفلك: يستخدم علم المثلثات لحساب المسافة بين الشمس والأرض والمسافة بين القمر والأرض، لحساب نصف قطر الأرض، ولتحديد المسافات بين الكواكب وبعضها.
- العمارة: تستخدم المثلثات في العمارة حيث يستحيل بناء منزل أو بناء دون قياس الزوايا في جدران المنزل وأيضاً دون قياس الأعمدة لتجنب تدمير المنزل أو تشويه الجدران.
- الاستخدامات في التنقل: يمكن أيضًا استخدام المثلثات في العمليات الملاحية حيث يتم استخدام البوصلة، وهي أداة لقياس المسافات عن طريق التثليث.
انظر أيضًا: البحث في درس الخط والقطع بالتفصيل
استنتاج حول الهويات المثلثية وإثباتها
تعتبر الهويات المثلثية من المجالات المفيدة والمهمة التي أثبتت أهميتها في تبسيط وتسهيل العديد من الأمور الحياتية، بالإضافة إلى الإسهام في العديد من العلوم الأخرى التي تفيد الإنسان وتقدمه في العديد من المجالات.