ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟ عندما ولدت الأعداد والأعداء ولد معهم علم الرياضيات. سعى العلماء لدراسته لمساعدتهم في الهندسة وعلم الفلك والعلوم الأخرى. كانت بعض الأرقام الأولى التي اكتشفها العلماء أرقامًا نسبية، فما هي الأعداد النسبية في الرياضيات.
تحضير
- الأرقام والأرقام هي لغة الرياضيات لأنها تستخدم للتعبير عن الكميات، وهي أساس الرياضيات التي تُجرى عليها العمليات الحسابية اليومية، مثل حساب الأيام أو الأشهر أو السنوات.
- هناك اختلافات في شكل ونطق وتهجئة الأرقام في كل ثقافة ولغة، مثلما تختلف كل لغة عن اللغات الأخرى حسب الثقافة، لذلك توجد أرقام عربية وأرقام هندية.
- الفرق الملحوظ بين الأرقام والأرقام هو أن الرقم هو رمز رياضي والرقم هو اسم أو صفة تصف عدد الأشياء أو ترتيبها.
- وقد ساهم دور العلماء في اكتشاف الأعداد وتطورها بشكل كبير، وخاصة العالم المسلم الخوارزمي الذي اكتشف الصفر الذي يمكن للإنسان أن يعد به إلى ما لا نهاية.
- قسّم العلماء الأرقام إلى مجموعات بناءً على خصائصها، بما في ذلك مجموعة الأعداد المنطقية ومجموعة الأعداد غير المنطقية ومجموعة الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية والأرقام الحقيقية.
ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟
- يمكننا تعريف الأعداد المنطقية كأرقام يمكننا كتابتها كرقم أ / ب، أي يمكن كتابتها كبسط ومقام، بشرط ألا يكون المقام صفراً، لأنه إذا كان صفرًا، فإن قيمة سيكون الكسر غير مؤكد.
- تأتي نسبة الكلمات من النسبة، مما يعني المقارنة بين رقمين موجودين في البسط والمقام بحيث يتم قسمة عدد صحيح على عدد صحيح.
- وبالتالي، يسهل علينا تحديد مجموعة من الأعداد الصحيحة من مجموعات مختلفة من الأرقام الأخرى، على الرغم من إمكانية الاختلاط بين مجموعات مختلفة من الأرقام.
- مثل الرقم +7، فهو رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية لأنه صحيح وموجب، ولكنه ينتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد المنطقية لأنه يساوي +7/1، مما يعني أن مقامه هو 1.
- لذلك، فإن جميع الأعداد المنطقية هي أعداد موجبة وسالبة، وأعداد صحيحة حتى الصفر، ويمكن كتابتها جميعًا في صورة كسر.
- عندما نكتب عددًا نسبيًا، نضع علامة سالب قبل الكسر أو بجوار الرقم الموجود في البسط. على سبيل المثال، الرقم 3/4 له شكل سالب أو المعكوس الجمعي -3-4 و3-4 هو خطأ شنيع.
- نظرًا لأن هذه هي الصيغة القياسية لكتابة الكسر السالب، فيمكننا كتابة الأعداد العشرية كبسط ومقام أي عدد كأرقام منطقية.
- على سبيل المثال، يمكننا كتابة الرقم 0.65 في شكل نسبي، لذلك فهو 100/65 مع مضاعف 10، اعتمادًا على عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية.
- يمكن أيضًا كتابة الأرقام العشرية المتكررة كأرقام منطقية، على سبيل المثال، يمكن كتابة الرقم 0.44444 على أنه 1/4، وبالتالي يسهل التعامل مع الأرقام.
أمثلة على الأرقام المنطقية
جميع الأعداد الصحيحة منطقية لأنها تتكون من بسط يساوي عددًا، ومقامًا يساوي دائمًا واحدًا، لذا فهو غير مكتوب، وسنشرح ذلك في هذه الأمثلة
- الرقم 2 هو رقم نسبي يمكن كتابته في صورة 5/1 ولا تتغير قيمته.
- الرقم -15 هو رقم نسبي لأنه يمكن كتابته في صورة بسط ومقام، وهو -1/1، ولكن لا يمكن كتابة -12/0 لأن الرقم الكسري لا يقبل أن المقام يساوي صفرًا.
الكسور والأعداد الكسرية
- تعتبر جميع الكسور التي يمكن كتابتها في صورة البسط والمقام أ / ب، عندما يكون كل من أ وب عدد صحيح وقيمة المقام ب لا تساوي صفرًا، تعتبر أرقامًا منطقية.
- وهي أيضًا أرقام منطقية تحقق الشرط القائل بأن البسط والمقام عددان صحيحان والمقام غير صفري. هم أيضا أرقام منطقية.
بعض الأمثلة على الكسور والأرقام المنطقية
- العدد الكسري 33/6 هو رقم نسبي لأن الأعداد -33 و 6 أعداد صحيحة والمقام 33 ليس صفراً.
- العدد الكسري 8/24 هو رقم نسبي لأن بسطه ومقامه أعداد صحيحة ومقامه غير صفري.
- لكن تجدر الإشارة إلى أن بعض الكسور والأرقام المختلطة ليست أرقامًا منطقية، على سبيل المثال الرقم 122 والصفر، على الرغم من أن كلاهما عدد صحيح، لكن 122/0 ليس عددًا نسبيًا لأن المقام هو صفر، لذا فإن قيمة الرقم غير معروف.
- الكسر 3 / π ليس عددًا نسبيًا، حتى لو كان المقام عددًا صحيحًا، لكن π لا يمكن اعتباره عددًا نسبيًا.
منازل عشرية
إذا كانت الكسور دورية أو محدودة، فيمكن معاملتها كأرقام منطقية لأنه يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب، كما في الأمثلة التالية
- يمكن التعبير عن الرقم 1.9 بالرقم 1.9 / 1، لذلك فهو رقم نسبي، وإذا ضربنا البسط والمقام في الرقم 10، نحصل على الرقم 18/10، وهو أيضًا رقم نسبي، حيث أن الرقم 19 والعدد 10 عبارة عن أعداد صحيحة، والرقم 10 في المقام لا يساوي صفرًا.
- رقم عشري متكرر … 2.222 يمكننا كتابته في صورة عدد كسري يساوي 1/2 وهو رقم نسبي ويمكن ضرب المقام والبسط في 20 للحصول على 10/20 وهو رقم نسبي، حيث أن البسط و المقام عبارة عن أعداد صحيحة والمقام يساوي 20 لا يساوي صفرًا.
أمثلة على الأعداد غير المنطقية
هذه الأمثلة هي بعض من أشهر الأرقام غير المنطقية
- الرقم النيبري هو e لأن الرقم النيبري هو كسر عشري ولكنه ليس منتهيًا والأرقام هي أول منازل عشرية وهي 2.718281828459045235360287471352
- الرقم pi، لأنه رقم عشري، ولكنه ليس منتهيًا، وأرقام المنازل العشرية الأولى فيه هي 3.1415926535897932384626433832795.
- بعض الجذور التربيعية والجذور التكعيبية حيث تكون بعض الكسور المشتقة من الجذور عبارة عن كسور عشرية لا نهائية، مثل الجذر التربيعي لـ 3، وهو… .1.7320508075688772935274463415059.
- أو الجذر التربيعي لـ 99، وهو… .9.9498743710661995473447982100121.
- ومع ذلك، ليست كل الجذور التربيعية والتكعيبية أرقامًا غير منطقية، ويمكن توضيح ذلك بمثال الجذر التربيعي للرقم 16، والذي يساوي 4 وهو عدد نسبي.
- أو عند ضرب جذرين لعددين غير نسبيين، على سبيل المثال، ضرب جذر 3 في مربع 3، تكون النتيجة 3، وهو رقم نسبي.
العمليات الحسابية على الأعداد النسبية
الرقم النسبي هو رقم، مثل أي رقم، يمكن من خلاله إجراء عمليات حسابية مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح.
- الجمع: يمكن جمع الأعداد الكبيرة معًا، ولكن بشرط واحد، وهو أن المقامات متساوية، فيتم إضافة البسط إلى البسط، مع تحديد قيمة المقام.
- الطرح: يمكننا إجراء عملية الطرح بنفس طريقة الجمع، لأنه لا يمكن طرح عددين يتم طرحهما من بعضهما البعض إذا كانت مقاماتهما غير متساوية، لذلك نطرح البسطين من بعضنا البعض ونخرج نفس المقام.
- الضرب: نقوم بعملية الضرب بضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ووضع حاصل ضرب البسط في بسط حاصل الضرب وحاصل ضرب المقام في بسط المقام.
- القسمة: في عملية القسمة علينا إصلاح الكسر الأول كما هو وعكس الكسر الثاني بحيث يصبح المقام هو البسط ويصبح البسط هو المقام وقد قمنا بتحويل علامة القسمة إلى الضرب ونقوم بضرب منتظم. بضرب البسط في البسط والاسم في الاسم.
خصائص الأعداد المنطقية
خصائص الأعداد المنطقية هي كما يلي:
- عندما نضرب عددًا صحيحًا غير صفري في رقم منطقي، تظل قيمة الرقم المنطقي كما هي ولا تتغير قيمته، لأن هذا الضرب ليس سوى مضاعف للبسط والمقام بنفس النسبة، على سبيل المثال، عندما نضرب 2/4 في 2، تكون النتيجة 4/8، والتبسيط لأقرب شكل يعطينا 2/4.
- إذا قسمنا رقمًا منطقيًا على عدد صحيح في الشكل والمقام، بشرط ألا يكون مساويًا للصفر، فإن قيمة الرقم النسبي لا تتغير ولا تؤثر هذه القسمة على النتيجة، على سبيل المثال، قسمة 6 على z / 30 في 3، تكون النتيجة 3/16، وهو رقم نسبي، لكن هذا كان تمثيلًا مبسطًا له.
- إذا طرحنا أو أضفنا رقمين منطقيين، يجب أن تكون النتيجة عددًا نسبيًا، ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
- عندما نضرب أو نضيف أي رقمين كسريين لهما نفس المقام، يجب أن تكون النتيجة هي نفس المقام ويجب أن يكون البسط هو الجمع أو الطرح.
- إذا ضربنا رقمين منطقيين في المنتج، فسيكون حاصل ضرب الوسيلتين هو حاصل ضرب المقام.
- لذا، إذا استخدمنا جذرًا تربيعيًا، فستكون النتيجة دائمًا عددًا نسبيًا، والعدد الموجب موجود داخل الجذر.
- يمكن أن يكون حاصل ضرب عددين غير نسبيين، مثل جذر، عددًا نسبيًا، مثل جذر 3 وجذر 4، وبالتالي ستكون النتيجة 12، وهو رقم نسبي.
- يسمى الرقم المنطقي بالشكل القياسي للرقم المنطقي إذا كان لا يمكن تخفيضه أكثر، أي. العامل الوحيد بين البسط والمقام هو عدد صحيح.
- لا يمكن أن تؤدي عملية إضافة أو طرح أرقام غير منطقية إلى أرقام منطقية ما لم يكن الرقمان المنطقيان متساويين ولكن بإشارة مختلفة، مما ينتج عنه رقم منطقي يساوي صفرًا، وتسمى العلاقة بين هذين الرقمين علاقة مضافة عكسية .
يميز بين الأعداد المنطقية وغير المنطقية
- رقم نسبي: أي رقم يمكن كتابته في صورة كسر من البسط والمقام، حيث يكون الرقمان في البسط والمقام أعدادًا صحيحة والمقام ليس صفراً، بغض النظر عما إذا كان الرقم سالبًا أم موجبًا في عقلاني الرقم، على سبيل المثال، 3/4.
- الرقم غير النسبي: يسمى الرقم الذي لا يمكن كتابته ككسر مشترك بسط ومقام عدد غير نسبي، مثل الجذر التربيعي للعدد 5، لأنه رقم عشري لا ينتهي برقم معين، بل يستمر في ذلك. ما لا نهاية.
في نهاية رحلتنا مع ما هي الأرقام النسبية في الرياضيات؟ قام علماء الرياضيات بتقسيم الأرقام وفقًا لخصائصها، مما أدى إلى مجموعات مختلفة، بما في ذلك مجموعة الأرقام المنطقية.