المراجع قانون الحجم المكعب، يتم تعريف الحجم على أنه مقدار المساحة أو المادة في شكل ثلاثي الأبعاد، ويتم قياس الحجم بالأمتار المكعبة وفقًا للنظام المشترك للوحدات.
حدد مستطيلاً
- يمكن تعريف متوازي المستطيلات على أنه كيان ثلاثي الأبعاد، أي له الطول والعرض والارتفاع، والشكل مشابه لشكل الصندوق، وعادة ما يعتبر حالة خاصة للمنشور، ويتكون من الأجزاء التالية:
- الوجه: المنشور المستطيل له ستة أوجه مستطيلة تسمى الوجوه المتعامدة.
- الحواف هي حواف تشكل سطحًا يمكن تعريفه بشكل مختلف كخط مستقيم يربط بين رأسين متجاورين من متوازي السطوح متوازي السطوح.
- الرأس: هذه هي النقطة أو الزاوية حيث تلتقي الأحرف الثلاثة بخط متوازي السطوح وكلها في وضع مستقيم.
راجع أيضًا: مساحة المستطيل ومحيطه
خصائص خط متوازي
- بالإضافة إلى تلك المذكورة في التعريف السابق، تتميز المناشير المستطيلة أيضًا بمجموعة من الخصائص:
- كل زوج من الوجوه المتقابلة في منشور الزاوية اليمنى متوازي ومحاذاة تمامًا.
- المنشور المستطيل له ستة أوجه وثمانية رؤوس واثنا عشر ضلعًا.
- الحواف المعاكسة للمنشور متوازية.
- وتجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا تساوى الطول والعرض والارتفاع، فإن المكعب يسمى المكعب.
حجم المنشور المستطيل
يمكن حساب حجم خط متوازي ثلاثي الأبعاد باستخدام الصيغة التالية:
- حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع
- وفي الرمز: H = A × B × C
- H: حجم مكعب متوازي المستطيلات.
- ج: طول خط الموازي.
- ب: عرض خط الموازي.
- C: ارتفاع المكعب المكعب.
أمثلة على حساب حجم خط متوازي السطوح
1- المثال الأول
- ما هو حجم المنشور المستطيل بطول 14 سم وعرض 12 سم وارتفاع 8 سم؟
- الحل: حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع.
- إذن: حجم متوازي السطوح متوازي المستطيلات = 14 × 12 × 8 = 1344 سم 3
2- المثال الثاني
- ما حجم الخط الموازي الذي طوله 14 سم وعرضه 50 مم وارتفاعه 10 سم؟
- الحل: حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع
- نظرًا لأن الطول والارتفاع بالسنتيمتر، يجب تحويل العرض إلى سنتيمترات بحيث تكون جميع الأبعاد في وحدة واحدة، 10 مم = 1 سم، فيكون العرض: 50 مم / 10 سم = 5 سم.
- نظرًا لأن الأبعاد في وحدة واحدة، يمكن إيجاد الحجم التالي: حجم المنشور المستطيل = 14 × 5 × 10 = 700 سم 3.
3- المثال الثالث
- عند شراء جدار مستطيل متوازي السطوح ارتفاعه 7.5 سم وطوله 25 سم وعرضه 10 سم، يبلغ طول كل 1000 طوبة 20 مم وارتفاعها 2 مم وعرضها 0.75 مم. ما هي تكلفة؟ بقيمة 900 قطعة نقدية؟
- الحل: حجم الجدار هو حجم خط الموازي، والذي يمكن حسابه على النحو التالي:
- حجم الجدار = الطول × العرض × الارتفاع = 20 م × 2 م × 0.75 م = 30 م.
- حجم الطوب هو أيضًا حجم متوازي السطوح المكعب، والذي يمكن حسابه على أنه قرميد = 25 سم × 10 سم × 7.5 سم = 1875 متر مكعب.
- عدد الطوب المطلوب = حجم الجدار / حجم الطوب، باستثناء حجم الطوب بالسنتيمتر المكعب وحجم الجدار بالمتر المكعب، لذلك يجب تحويل حجم الجدار بقسمة الحجم على القيمة ( 1،000،000) سم مكعب لتوحيد الوحدة.
- لأن كل 1 م³ = 1،000،000 سم مكعب، حيث: حجم الطوب (متر مكعب) = 1875/1000000 = 0.001875 م.
- عدد الطوب = 30 / 0.001875 = 16000 طوبة.
- العملية المتناسبة، العلاقة بين كمية النموذج وتكلفته هي كما يلي:
- كل 1000 مربع → 900 قطعة نقدية
- على مساحة 16000 متر مربع ← ؟؟
- عند الضرب التبادلي، تكون قيمة الكتلة = 900 × 16000/1000، أي ما يعادل 14400 قطعة نقدية.
4- المثال الرابع
- يبلغ طول المسبح الأولمبي 50 م وعرضه 25 م وعمقه 2 م ما هي كمية المياه الموجودة في المسبح؟
- الحل: يمكن التعبير عن كمية الماء في البركة من حيث الحجم، وحجم الماء يساوي حجم متوازي المستطيلات، ويمكن أن يكون على النحو التالي:
- حجم مكعب متوازي المستطيلات =
- الطول × العرض × الارتفاع = 50 × 25 × 2 = 2500 متر مكعب، هذه هي كمية الماء في البركة.
5- المثال الخامس
- إذا كان طول خط الموازي 8 سم وارتفاعه 3 سم، فما عرضه إذا كان حجمه 120 سم 3؟
- الحل: حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع.
- إذن 120 = 8 × العرض × 3. حل هذه المعادلة، العرض = 5 سم.
6- المثال السادس
- صنع فؤاد صندوقاً على شكل متوازي سطوح مستطيل بحجم 2500 سم 3، ارتفاع 25 سم وقاع مربع. ثم أدرك أنه بحاجة إلى صندوق أصغر، فقطعه من 1000 سم إلى حجم 3.
- تظل المساحة الموجودة في الأسفل كما هي، لذا يصبح الارتفاع طويلاً جدًا ويصبح شكل الصندوق مكعبًا؟
- الحل: استخدم حجم صيغة خط متوازي الخطوط = الطول × العرض × الارتفاع لحساب مساحة القاعدة.
- بما أن الحجم = 2500 سم 3 والارتفاع = 25 سم، وبالتعويض عن هذه القيم في صيغة الحجم، يمكن الحصول على مساحة قاعدة المربع على النحو التالي:
- 2500 = (الطول × العرض) × الارتفاع = (الطول × العرض) × 25 قسمة كلا الجانبين على (25) يمنحك: 100 سم 2 = الطول × العرض وهي مساحة القاعدة.
- احسب طول وعرض مربع القاعدة كما يلي:
- مساحة القاعدة = (طول الضلع) 2، بدءًا منها: طول الضلع = 100√ = 10 سم، وبما أن القاعدة مربعة، فإن عرضها أيضًا 10 سم.
- باستخدام قانون الحجم في خط متوازي مستطيل، بعد قطع جزء من الارتفاع، احسب ارتفاع الصندوق واحصل على: حجم الصندوق بعد القطع = الطول × العرض × الارتفاع، ومنه:
- 1000 = 10 × 10 × الارتفاع. نتيجة قسمة الجانبين على (100): ارتفاع جديد = 10 سم.
- نظرًا لأن الطول = العرض = الارتفاع، فإن الشكل الناتج يكون مكعبًا.
7- المثال السابع
- ما مقدار الهواء الموجود في الغرفة على شكل مستطيل متوازي السطوح يبلغ طوله 5 أمتار وعرضه 6 أمتار وارتفاعه 10 أمتار؟
- الحل: كمية الهواء في الغرفة = سعة الغرفة = حجم المستطيل.
- حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع، حجم المكعب = 5 × 6 × 10 = 300 متر مكعب، وبالتالي فإن حجم الهواء في الغرفة 300 متر مكعب.
8- المثال الثامن
- قضيب معدني على شكل متوازي متوازي المستطيلات طوله 10 أمتار وعرضه 60 سم وسمكه 25 سم وإذا كان المتر المكعب يكلف 250 دولارًا فما هو سعره؟
- الحل: لحساب سعر العمود المعدني، يجب أولاً حساب حجمه، لأن السعر = تكلفة المتر المكعب × حجم المنشور المستطيل، يتضح:
- حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع = 10 × (60/100) × (25/10)، ولاحظ أنه مقسوم على 100 لتحويل السنتيمتر إلى متر.
- حجم المنشور المستطيل = 1.5 متر مكعب، سعر الشعاع المعدني = 1.5 × 250 = 375 دولار أمريكي.
9- المثال التاسع
- ما ارتفاع خط متوازي السطوح على شكل مكعب إذا كان حجمه 300 سم 3 ومساحته السفلية 30 سم؟
- الحل: حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع. يمكن العثور على الارتفاع على النحو التالي:
- الجزء السفلي عبارة عن مستطيل، لذا مساحته = الطول × العرض، أي 30 سم.
- يمكن إيجاد الارتفاع من معادلة الحجم كالتالي: 300 = 30 × ارتفاع، ومنه يكون الارتفاع: 300/30 = 10 سم.
انظر أيضًا: الشكل الموازي في الرياضيات
10- المثال العاشر
- بركة مستطيلة الشكل فارغة طولها 25 م وعرضها 10 م وعمقها 2 م ويمكن ملؤها بالماء بمعدل 800 لتر في الدقيقة.
- إذن فمن المعروف بالضبط كم دقيقة وكم دقيقة يستغرق ملء المتر المكعب = 1000 لتر ساعة؟
- الحل: لحساب كمية الماء اللازمة لملء البركة، يمكنك استخدام الصيغة الخاصة بحجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع ثم الحصول على:
- حجم خط الموازي = 25 × 10 × 2 = 500 م 3، وهي كمية المياه اللازمة لملء البركة.
- الوقت اللازم لإكمال الملء = الحجم / معدل التعبئة، والفرق هو أن معدل الملء يجب أن يقسم أولاً على لتر على (1000) ثم تحويله من لتر إلى متر مكعب.
- حيث أن كل متر مكعب = 1000 لتر أي. 800 لتر / دقيقة = 800/1000 = 0.8 م / دقيقة، لذلك:
- الوقت اللازم لملء البركة بالكامل = 500 م / ((0.8) م 3 / دقيقة)، حيث الوقت بالدقائق = 625 دقيقة والوقت بالساعات = 625/60 = حوالي 10 ساعات ونصف.
11- المثال الحادي عشر
- إذا كان حجم قاع المربع أ (أي الطول والعرض): 10 سم × 8 سم، وكان حجم قاع المربع ب: 15 سم × 10 سم، يكون المربعان أ وب شكل متوازي المستطيل.
- صب الماء في الصندوق (ب) ما هو ارتفاع الماء في الصندوق؟
- الحل: كمية الماء (الحجم) في المربع أ = كمية الماء (الحجم) في المربع ب، ثم استبدل صيغة حجم مستطيل نصف مكعب = الطول × العرض × الارتفاع.
- ثم سيكون: 10 × 8 × 15 = 15 × 10 × ارتفاع، والتي يتم الحصول عليها من خلال حل المعادلة: الارتفاع = 8 سم.
12- المثال الثاني عشر
- إذا كان حجم الصندوق المستطيل 1440 م 3، وطوله 15 م، وارتفاعه 8 م، فما ارتفاعه؟
- الحل كالتالي: حجم خط الموازي = الطول × العرض × الارتفاع.
- من هنا نحصل على: 1440 = 15 × 8 × ارتفاع، وحل المعادلة واضح.
- الإرتفاع = 1440/120 = 12 م.
13- المثال الثالث عشر
- إذا كان حجم قاع صندوق مستطيل 80 سم × 40 سم، وكان الحجم 160 لترًا.
- أحمد يريد أن يرسم كل الجوانب ماعدا قاع الصندوق، تكلفة الدهان 6000 قطعة نقدية للمربع، أرجو معرفة تكلفة الدهان؟
- الحل: استخدم صيغة الحجم لمنشور مستطيل لحساب ارتفاع الصندوق، باستثناء أنه يجب عليك أولاً تحويل لتر واحد إلى سنتيمترات مكعبة لمضاعفة الحجم في (1000) لتوحيد الوحدة.
- بما أن 1 لتر = 1000 سم مكعب، تحصل على: حجم المنشور المستطيل = 160 لترًا = 160.000 سم مكعب.
- ثم استبدل هذه القيمة في صيغة حجم خط الموازي: الطول × العرض × الارتفاع، وستحصل على:
- 000 = 80 × 40 × ارتفاع، بدءًا من هذا الارتفاع: الارتفاع = 50 سم.
- مساحة المنشور المستطيل باستثناء الجزء السفلي = المنطقة الجانبية + المنخفض العلوي =
- 2 × الارتفاع × (الطول + العرض) + الطول × العرض =
- 2 × 50 × (80 + 40) + 80 × 40 = 15200 سم² = 1.52 م²، لأن 1 م² = 1000 سم².
- حساب تكلفة الطلاء = مساحة الصندوق × تكلفة الطلاء = 1.52 متر مربع × 6000 قطعة نقدية / متر مربع = 9120 قطعة نقدية.
انظر أيضًا: مكعب ومكعب
في مقال اليوم، ناقشنا قانون حجم الخط المتوازي وشرحنا أمثلة مفصلة لهذا القانون لمساعدة الطلاب على حل جميع المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.