حل معادلة من الدرجة الثانية

يعد حل المعادلة التربيعية إحدى الطرق التي يبحث بها الطلاب والمعلمون عن حل مسائل الرياضيات الخاصة بهم. في هذا المقال سوف نستعرض من خلال موقع جديد اليوم طريقة حل هذا النوع من المعادلات والقوانين المختلفة المستخدمة لحلها، وسنشرح بعض الأمثلة على تطبيق هذه القوانين.

معادلة من الدرجة الثانية

• في المقالة المتعلقة بحل المعادلة التربيعية، يجب أن نعرف أنه يمكن وصف المعادلة التربيعية بأنها معادلة جبرية لها متغير واحد فقط.
• وتسمى أيضًا المعادلة التربيعية لأنها تحتوي على s2، وأول من حاول حل معادلة تربيعية كان البابليون عندما كانوا يحاولون إيجاد أبعاد منطقة.
• بعد ذلك جاء الخوارزمي المعروف الآن باسم أبو الجبر وصاغ صيغة متطابقة في الصفات، وهي صيغة المعادلة الثانية الحالية، في كتابه الشهير “ الجبر في الحسابات والمقبلة ”.
• هذه الطريقة التي ابتكرها هي إحدى الطرق الأكثر اكتمالاً التي تم تطويرها لحل المعادلة الثانية من الطريقة البابلية.

ولا تفوت قراءة مقالتنا: استكشاف حل المعادلات والمتباينات الأسية وأنواعها الكاملة

الشكل العام للمعادلة التربيعية

الشكل العام الذي تكتب فيه المعادلة التربيعية هو:

• القوة 2 + bx + c = صفر، حيث: a: المعامل عند x2، حيث a ≠ يساوي صفرًا، وهو ثابت عددي.
• وبالتالي، يمكن تعريف الأس 2 + bx + c = صفر أن الأعداد الثابتة فيه هي b و c، ويمكن أن تكون هذه الأرقام مساوية للصفر.
• أعلى قيمة يمكن أن يصل إليها الأس في المعادلة التربيعية هي 2، والمعامل عند A ليس صفرًا أبدًا.

حل المعادلة التربيعية

يمكن حل المعادلة التربيعية بعدة طرق، بما في ذلك:

الطريقة الأولى لحل المعادلة التربيعية بشكل عام

• تستخدم هذه الطريقة القانون العام، القانون العام هو القانون الأكثر اكتمالا لحل المعادلة التربيعية، لكن شرطه أن يكون مميز المعادلة رقم موجب أو صفر.
• مميز المعادلة هو الكمية التي تحدد جذور المعادلة أو عدد الحلول، والقانون العام مكتوب كـ x = (-b ± (b2 – 4a) √) / 2a.
• في القانون العام، تعني العلامة ± وجود حلين لمنتج المعادلة أو جذريها:
• Q1 = (-b + (b2 – 4a) √) / 2a
• Q2 = (-b – (b2 – 4a) √) / 2a
• لكن يجب ألا ننسى أنه ليس لكل الحالات حلين لمعادلة، فقد يكون هناك حل واحد فقط، وفي بعض الأحيان قد لا ترغب في حلول على الإطلاق.
• هنا يجب أن نشير إلى المميز، الذي يرمز إليه بالرمز Δ، ونقبل القانون المميز الذي Δ = b2 – 4a.
• بما أنه إذا كانت قيمة المميز موجبة، إذا كانت> صفر، فإن المعادلة لها حلين أو جذران.
• ولكن إذا كانت قيمة المميز صفرًا، أي Δ = صفر، فإن المعادلة لها حل عام واحد.
• بينما إذا كانت قيمة المميز سالبة، إذا كانت <صفر، نجد أنه لا توجد حلول للمعادلة بأرقام حقيقية، ولكن هناك حلان من خلال الأعداد المركبة.
• وهكذا نجد أن القانون العام هو أكمل قانون في حل المعادلة التربيعية، بغض النظر عن شكلها وقيمة خصائصها.

أمثلة على حل معادلة تربيعية بشكل عام

المثال الأول

• x2 + 4x – 21 = صفر.
• أولاً، حدد معاملات الحدود أ = 1، ب = 4، ج = -21.
• ثم نستبدل x = (-4 ± (16- 4 * 1 * (-21)) √) / (2 * 1) في القانون المعتاد. إذن لدينا (-4 ± (100) √) / 2 وبالتالي (-4 ± 10) / 2 = -2 ± 5.
• نوجد قيم x، والتي تمثل حل المعادلة: {3، -7}.

المثال الثاني

• x2 + 2x +1 = 0.
• حددنا المعاملات أ = 1، ب = 2، ج = 1.
• والمميز = (2) ^ 2 – 4 * 1 * 1√ = 4-4√ = 0، لذلك يوجد حل واحد فقط لأن قيمة المميز = 0.
• بعد التطبيق في القانون العام x = (-2 ± (0) √) / 2 * 1 = 1-.
• قيمة تمثل حلًا للمعادلة: x = {1-}.

المثال الثالث

• x2 + 4x = 5.
• أولاً، اكتب المعادلة بالصيغة القياسية: x2 + 4x – 5 = صفر.
• ثم حدد المعاملات أ = 1، ب = 4، ج = -5.
• في القانون العام x = (-4 ± (16- 4 * 1 * (-5)) √) / (2 * 1).
• س = (-4 ± (16 + 20) √) / 2، منها س = (-4 ± (36) √) / 2. س = (-4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.
• أو x = (-4-6) / 2 = -10/2 = -5.
• إذن، قيم x التي تمثل حلولًا للمعادلة هي {-1، -5}.

الطريقة الثانية لحل المعادلة التربيعية

• الطريقة الثانية لحل المعادلة التربيعية هي طريقة العوامل، وهذه الطريقة من أكثر الطرق شيوعًا بسبب بساطتها.
• وعند الحل بهذه الطريقة، يجب أن نكتب المعادلة بالصيغة القياسية على النحو التالي للأس 2 + bx + c = صفر.
• في هذه الطريقة، نجد أن a = 1 والأقواس يتم فكها على أنها حاصل الضرب التالي:
• x (± *) x (±)، ونفترض أن رقمين مجموعهما يساوي b في كل من الإشارة والقيمة.
• وحاصل ضربهم يساوي قيمة c، وهو مصطلح ثابت من حيث القيمة بالإضافة إلى الإشارة.
• حيث أنه عندما يكون a = 1، يتم الحصول على المنتج بضرب a * c، ويتم الإشارة إلى نتيجة هذه العملية بالرمز z.
• بعد ذلك، نبحث عن عددين يساوي حاصل ضربهما قيمة p، ولكن يجب أن يكون مجموعهما أيضًا مساويًا لـ b.

كيفية حل المعادلة التربيعية بالتحليل

• 4 × 2 + 15 × + 9 = صفر.
• لحل هذه المعادلة، نحدد أولاً قيم العوامل، لذلك نجد أ = 4، ب = 15، ج = 9.
• ثم نجد حاصل الضرب أ * ج = 4 * 9 = 36.
• بعد ذلك، نبحث عن عددين حاصل ضربهما 36، ومجموعهما يساوي قيمة معامل x، وهما 12 و 3.
• ثم نجد 3 * 12 = 36، أي 12 + 3 = 15، وهي قيمة ب.
• ثم نستبدل قيمة b بالقيمتين، ثم تصبح المعادلة كما يلي
• 4 س 2 + 12 س + 3 س + 9 = صفر.
• ثم نأخذ أكبر عامل مشترك لكل حد، ونجمعه على النحو التالي 4x (x + 3) + 3 (x + 3).
• وجدنا أن النتيجة تحتوي على قوسين متشابهين، لذلك نخرج العامل المشترك في الخطوة السابقة (x + 3) * (4x + 3) ثم نجد x = 4 / -3.
• لهذا نقول أنه في طريقة التحليل يمكننا الاعتماد على عامل x ^ 2 باتباع الخطوات السابقة، وإذا كان من الممكن استخدام عامل x ^ 2 لجميع المصطلحات والتخلص منه، فنحن اتبع خطوات الحل المذكورة، إذا كان a = 1.

أمثلة على حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل

المثال الأول

• س 2-3 س – 10 = صفر.
• نفتح الأقواس ونجد رقمين حاصل ضربهما -10، وهي قيمة c، ومجموعهما -3، وهي قيمة b.
• عند البحث نجد أن هذين الرقمين -5، 2، ثم قمنا بتعيين كل قوس على صفر: (x – 5) * (x + 2) = 0.
• في النهاية، نحصل على قيمة x، وهو حل المعادلة: {-2،5}.

المثال الثاني

• س 2 + 5 س + 6 = صفر.
• أولاً، نفتح الأقواس ونقسم المعادلة إلى عوامل بسيطة: (س + 3) * (س + 2) = 0. ثم نساوي كل قوس بالصفر: (س + 2) = 0، (س + 3) = 0.
• لحل المعادلتين، ستكون قيم x التي تحقق المعادلة هي: {-3، -2}.

المثال الثالث

• 2 س 2 + 5 س = 12.
• أولاً، اكتب المعادلة بشكلها العام: 2×2 + 5x-12 = 0.
• ثم نفتح الأقواس ونحلل المعادلة إلى عوامل أولية تبدو هكذا
• (2 × -3) (س + 4) = 0.
• قمنا بتعيين كل قوس على الصفر: (2x-3) = 0 أو (x + 4) = 0.d
• أخيرًا، حللنا معادلتين، وبالتالي فإن قيم x التي تحقق المعادلة هي {3/2، -4}.

الطريقة الثالثة لحل المعادلة التربيعية

• في الطريقة الثالثة لحل المعادلة التربيعية، نستخدم الجذر التربيعي، وتعتمد هذه الطريقة على عدم وجود حد متوسط ​​(b * x).
• هذه المعادلة هي Q2 – 1 = 24. في هذه المعادلة، يتم إزاحة جميع الشروط الثابتة للمعادلة إلى الجانب الأيسر، ثم تتم كتابة المعادلة كـ Q2 = 25.
• إذا أخذنا الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، تصبح قيمة x
• P: {-5، +5}، حيث يُستخدم الجذر التربيعي إذا لم يكن هناك حد وسطي.

اقرأ عنها هنا: إنها مثل كلمة المرور في معادلة من ثلاثة أحرف

أمثلة على حل معادلة تربيعية باستخدام طريقة الجذر التربيعي

المثال الأول

• س 2-4 = 0.
• أولاً، نحول الثابت القياسي إلى اليسار: x2 = 4.
• ثم نعمل على الحصول على الجذر التربيعي لكلا الطرفين، وبالتالي فإن قيم x التي تحقق المعادلة هي x = 2 أو x = -2.

المثال الثاني

• 2 × 2 + 3 = 131.
• أولاً، ننقل الثابت 3 إلى اليسار: 2×2 = 131-3، فتصبح المعادلة 2×2 = 128.
• نقسم على المعامل x2 في كلا الاتجاهين: x2 = 64.
• بعد ذلك، بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على قيم x التي تحقق المعادلة:
• س = -8 أو س = 8.

المثال الثالث

• (س – 5) 2-100 = صفر.
• أولاً، نحول الثابت العددي إلى اليسار: (x – 5) 2 = 100.
• ثم خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين: (x-5) 2√ = 100√
• إذن تصبح المعادلة (x -5) = 10 أو (x -5) = -10.
• بعد حل المعادلتين الخطيتين، فإن قيم x التي تحقق المعادلة هي {15، -5}.

الطريقة الرابعة لحل المعادلة التربيعية

تُعرف هذه الطريقة بإكمال المربع وفي هذه الطريقة نكتب المعادلة في شكل مربع كامل.

• في طريقة حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع، نحل هذه المعادلة x 2-10 x = 21 – نتبع الخطوات التالية:
• أولاً نجد قيمة 2 (2 / ب) وبناءً على المعادلة السابقة 2 (2 / -10) = 25.
• بإضافة الرقم 25 إلى كلا الجانبين، يصبح x 2 – 10x + 25 = 21 – + 25. هنا يصبح الجانب الأيسر مربعًا كاملاً، وتبدو المعادلة x 2 – 10x + 25 = 4.
• ثم نحلل الطرف الأيمن أيضًا لنحصل على مربع كامل، فيصبح كذلك
• (S-5) * (S-5) = 4.
• أي (x-5) 2 = 4، ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين ونحصل على حاصل ضرب اثنين: x-5 = +2 أو x-5 = -2.
• أخيرًا، حللنا معادلة حاصل ضرب اثنين، إذن لدينا القيمة x = {7، 3}.

أمثلة على حل معادلة تربيعية بإكمال المربع

المثال الأول

• x2 + 4x +1 = صفر.
• أولاً، نحول الثابت القياسي إلى اليسار: x2 + 4x = -1.
• ثم أكمل المربع الكامل على الجانب الأيمن بإضافة حاصل ضرب الرقم (2 / ب) 2 = (4/2) 2 = (2) 2 = 4.
• ثم أضف 4 إلى كلا الجانبين: x2 + 4x +4 = -1 + 4، تحصل على:
• x2 + 4x +4 = 3.
• نكتب الجانب الأيمن على شكل مربع كامل: (x + 2) 2 = 3.
• ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين ونحصل على معادلتين: x + 2 = 3√ أو x + 2 = 3√ -.
• بعد حل المعادلتين الخطيتين، نجد قيم x التي تحقق المعادلة:
• {3√ + 2-، 3√-2-}.

المثال الثاني

• 5×2 – 4x – 2 = صفر.
• أولاً، نقسم كل الحدود على 5 (عامل x2): x2 – 0.8x – 0.4 = صفر.
• ننقل الثابت القياسي إلى اليسار: x2 – 0.8 x = 0.4.
• ثم طبق القاعدة 2 (2 / ب) = 2 (0.8 / 2) = 0.42 = 0.16.
• ثم أضف نتيجة 0.16 لكلا الجانبين لجعل المعادلة تبدو كما يلي:
• Q2 – 0.8 × + 0.16 = 0.4 + 0.16.
• ثم نكتب الطرف الأيمن في صورة مربع 2 (x – 0.4) = 0.56.
• بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ونشكل معادلتين: س – 0.4 = 0.56√ أو س -0.4 = -0.56√.
• وعند حل معادلتين خطيتين، فإن قيم x التي تحقق المعادلة:
• {-0.348، 1.148}.

المثال الثالث

• س 2 + 8 س + 2 = 22.
• ننقل الثابت إلى الجانب الأيسر: x2 + 8x = 22-2، لذا ستبدو المعادلة كما يلي:
• س 2 + 8 س = 20.
• تطبيق القاعدة 2 (2 / ب) = 2 (8/2) = 42 = 16.
• ثم نضيف 16 إلى كلا الجانبين: x2 + 8x + 16 = 20 + 16.
• اكتب الجزء الأيمن على شكل مربع: 2 (س + 4) = 36.
• في النهاية، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ما يعطينا معادلتين: x + 4 = -6 و x = -10، أو x + 4 = 6 و x = 2.
• وقيم x التي تحقق المعادلة هي {-2،10}.

اقرأ أيضًا: المعادلة الكيميائية المتوازنة اللفظية والرمزية

في نهاية المقال حول حل المعادلة التربيعية شرحنا مفهوم المعادلة التربيعية وكذلك الطرق المختلفة لحلها وقوانينها وبعض الأمثلة التي توضح خطوات حل المعادلة، ونتمنى للجميع التوفيق. .