المخروط شكل هندسي ثلاثي الأبعاد ذو قاعدة دائرية مسطحة وحافة تلتف حول القاعدة في حركة دائرية.
كما أن لها طرفًا مدببًا بحيث يمكن صنع المخروط عن طريق قلب المثلث. ترقبوا كل التفاصيل في ميزتنا المميزة دائمًا،.
أنواع المخاريط
1- مخروط دائري قائم
- إنه مخروط يكون رأسه على اتصال تام بمركز القائمة، أي مباشرة معه.
- يتكون أيضًا من قاعدة دائرية ومركز للقاعدة ومحور رأسي يربط بين مركز القاعدة وقمة المخروط.
- يصنع المحور أيضًا زاوية قائمة مع قاعدة المخروط، لذلك يسمى هذا النوع من المخروط المخروط الأيمن.
اقرأ أيضًا: تعبير موضوعي لمساحة المعين
2- مخروط مائل
- إنه مخروط لا تتطابق قمته مع مركز القاعدة، أي أن قمة المخروط لا تقع تمامًا مقابل قمة قاعدتها.
- يتكون هذا النوع أيضًا من قاعدة دائرية، ولها شكل مائل بحيث لا تشكل زاوية قائمة مع قاعدة المخروط.
- هذا هو السبب في أنه يطلق عليه مخروط مائل.
- وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا استخدام قوانين حساب حجم المخروط الدائري المنتظم لحساب حجم المخروط المائل.
3-قطع المخروط
هذا هو النوع الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع القمة الموازية للقاعدة، وبالتالي إزالة رأس المخروط.
ويتم التعبير عن هذا المخروط باستخدام الأبعاد التالية:
- الارتفاع: هذا هو العمود المستقيم الذي يربط منتصف القاعدة العلوية (التي يتم الحصول عليها بقطع رأس المخروط) بالقاعدة السفلية.
- نصف القطر: عادةً ما يختلف نصف قطر القاعدة العلوية ونصف قطر القاعدة السفلية.
- الملعب: أقصر مسافة ممكنة بين الحافة السفلية للقاعدة والحافة العلوية للقاعدة.
خصائص المخروط
- لها وجه واحد وهو قاعدة مستديرة ورأس واحد.
- لكن ليس لها زوايا وحواف.
- يمكن إيجاد عرض المخروط بحساب قطر القاعدة الدائرية.
المخروط له ثلاثة أبعاد:
- الارتفاع وهو العمود بين قمة المخروط ومركز قاعدته.
- نصف قطر المخروط هو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.
- الارتفاع المائل، وهو المسافة بين قمة المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة الدائرية للمخروط.
كيفية حساب مساحة المخروط
- من أجل حساب مساحة المخروط، يجب أولاً تحديد بعض المفاهيم الضرورية وفهمها بالكامل.
- الارتفاع: هو العمود الذي يقف بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب للمخروط.
- بحيث تشكل زاوية قائمة بقاعدة مستديرة.
- نصف القطر: المسافة من المركز إلى محيط قاعدة دائرية.
- الارتفاع الجانبي أو المنحدر: هذا هو المسافة بين أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية والطرف المدبب.
- تُعرَّف مساحة المخروط بأنها عدد الوحدات المربعة التي تغطي الجزء الخارجي من المخروط.
- عند حساب مساحة أو حجم المخروط، تنطبق القوانين على المخروط العمودي، وليس المخروط المائل.
- المخروط العادي هو الذي له قاعدة دائرية والخط الذي يربط قمة المخروط ومركز القاعدة عمودي على القاعدة.
- يمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط بإيجاد مجموع المساحة الجانبية للمخروط ومساحة القاعدة.
- ومساحة القاعدة هي التي تمثل مساحة الدائرة، والقاعدة دائرية وتساوي (π × n2)، n تعني نصف القطر.
- المساحة الجانبية تساوي (π × نصف القطر × الطول القطري أو الارتفاع الجانبي).
- يمكن حساب الارتفاع الجانبي أو الطول لقطر المخروط باستخدام الصيغة التالية.
- الارتفاع الجانبي للمخروط = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر).
مما سبق نستنتج أن المساحة الكلية للمخروط كالتالي:
- إجمالي مساحة المخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
- أيضًا، إجمالي مساحة المخروط = π × n × l + π × نق 2، وهو ما يساوي
- المساحة الكلية للمخروط = π × n2 + π × n × (ع 2+ نق 2) √.
بأخذ πν ق كعامل مشترك، تتغير المعادلة إلى الشكل التالي:
- إجمالي مساحة المخروط = π × n × (n + (ع + نق) √
- في حين:
- π: ثابت عددي قيمته العددية 22/7، 3.14.
- Nq: نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.
- ج: هذا هو ارتفاع المخروط.
- L: الطول القطري أو الارتفاع الجانبي للمخروط.
قد تكون مهتمًا أيضًا بـ: موضوع حول مساحة المربع
صيغة حساب مساحة القطع الناقص
ارتفاع الجانب (ل): يساوي: l² = m² + (m1 – m2) ²، ومنه: l = (m² + (m1-m2) ²) √.
المساحة الجانبية للقطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.
- مساحة القطع الناقص = π × (l × (m1 + m2) + (m1) ² + (m2) ²).
- حجم القطع الناقص = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق 1 × نق 2)) ؛ حيث:
- N1: نصف قطر القاعدة السفلية.
- N2: نصف قطر القاعدة العلوية.
- L: الارتفاع المائل أو الجانبي للعظم المقطوع.
- π: ثابت pi، وهو ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.
- ج: ارتفاع العظم المقطوع.
أمثلة لحساب مساحة المخروط
المثال الأول
- ما مساحة مخروط ارتفاعه ٨ وحدات ونصف قطره ٦ وحدات؟
- الحل: مساحة المخروط = π × n × (نق + (ع² + نق²) √) ويمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = ((8² + 6²) √ + 6) × π × 6.
- ومن ثم: مساحة المخروط = π × 96 سم².
المثال الثاني
المخروط ناقص قطر قاعدته العلوية 2 سم، وقطر القاعدة السفلية 6 سم، والارتفاع 10 سم، ما قيمة كل منهما: المساحة الجانبية، المساحة الكلية، والحجم؟
- الحل: لإيجاد المساحة الجانبية والمساحة الكلية، يجب أولاً إيجاد الارتفاع الجانبي (l).
- هذا كالتالي: احسب الارتفاع الجانبي كما يلي: l = (p² + (m1-m2)) ²√ = 10² + (6-2) ²√ = 10.77 cm.
- المساحة الجانبية للقطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.
- ومن ثم: المساحة الجانبية للقطع الناقص = 3.14 × (6 + 2) × 10.77 = 270.69 سم².
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + × (م 1) ² + π × (م 2) ².
- إذن: المساحة الإجمالية = 270.69 + (3.14 × 6² + 3.14 × 2²) = 396.35 سم².
- حجم المخروط = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق × 2)).
- إذن: حجم المخروط = (1/3) × 3.14 × 10 × (6² + 2² + (6 × 2)) = 544 سم مكعب.
أيضا المثال الثالث
- ما المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 أمتار وارتفاع جانبه 10 أمتار؟
- الحل: مساحة المخروط = π × n² + × نق × l.
- يمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = 3.14 × 6² + 3.14 × 6 × 10 = 301.44 م².
المثال الرابع
- قطر قاعدة المخروط الدائري يساوي 3√4 والزاوية بين ارتفاع الضلع وارتفاعه 30 درجة، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟
- الحل: المساحة الكلية للمخروط = π × م × (ن + ل) ولحسابها نحتاج إلى القيمة: نصف القطر والارتفاع الجانبي ويمكن حسابها على النحو التالي:
- احسب نصف القطر بقسمة القطر على 2 ؛ نصف القطر = القطر / 2 = 3√4 / 2 الذي يساوي 3√2 سم.
- احسب ارتفاع الضلع وهو وتر المثلث القائم حيث يكون نصف القطر أحد ضلعه.
- وارتفاع الضلع الثاني، والارتفاع الجانبي للوتر، وتطبيق قانون جيب الزاوية: sin (x) = المقابل / الوتر.
- والنتيجة هي: sin (30) = 3√2 / l، منها l = 3√4 cm.
- عوض بالقيم السابقة في قانون المساحة الكلية للمخروط لتحصل على: المساحة الكلية للمخروط = π × n × (sq + l) = 3.14 × 3√2 × (3 2 + 3√4) = 113.04 سم².
وأخيرًا، المثال الخامس
- إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856 سم 3 وقطره (أقطار) قاعدته 28 سم، فما ارتفاعه (ع) والارتفاع الجانبي (ل) والمساحة الجانبية؟
- الحل: حجم المخروط = (1/3) × π × m² × p، ومنه يمكن إيجاد الارتفاع.
- لذلك: بما أن القطر = 28 سم، فإن نصف القطر (ن) = القطر / 2 = 14 سم.
- بالتعويض في قانون الحجم، إذن: 9856 = (1/3) × 22/7 × ² 14 xp، بما في ذلك: الارتفاع = (9856 × 3 × 7) / (22 × 14 × 14).
- بما في ذلك: الارتفاع = 48 سم. الارتفاع الجانبي = (n² + h²) √ لذا: l = 14² + 48² √ = 50 cm المساحة الجانبية = π × n × L.
- إذن: المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50 = 2200 سم².
المثال السادس
- الورقة على شكل نصف دائرة قطرها 6.28 سم، إذا كنت تعلم أنها تحولت إلى مخروط صحيح.
- احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟
- الحل: المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = مساحة القطاع الدائري. المساحة الجانبية للمخروط المنتظم = (180 ÷ 360 درجة) × π × م².
- المساحة الجانبية لمخروط منتظم = 1/2 x x m².
- كذلك المساحة الجانبية لمخروط منتظم = 2 / p².
- بما أن nn = القطر ÷ 2، إذن n = 3.14، فنعوض نصف القطر في القانون.
- ويترتب على ذلك: المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / (π × 3.14 × 3.14). المساحة الجانبية لمخروط منتظم = π9298 سم² (الإجابة بـ π).
- المساحة الجانبية للمخروط = 4.9298 × 3.14. المساحة الجانبية للمخروط = 15.4796 سم².
راجع أيضًا: تعبير الموضوع لمساحة شبه منحرف
أخيرًا، تعرفنا على قوانين حساب مساحة المخروط وبعض الأمثلة على استخدام هذه القوانين.
شاركنا أيضًا في التعليقات للإجابة على أسئلتك واستفساراتك حول هذه المسألة.