عند دراسة حالات المثلثات المتشابهة، يقترح المعلمون باستمرار على الطلاب التحقيق في حالات المثلثات المتشابهة، لأن علم المثلثات هو أحد أهم المواد للطلاب في الفصول الإعدادية، حيث يتحدثون عن كل ما يتعلق بالمثلثات، سواء كانت نظريات أو قوانين أو رسومات، إلخ. . د.، ونتحدث عنها بمزيد من التفصيل في المقال التالي.
التعرق الثلاثي وأنواعه
المثلث شكل مثلث يتكون من 3 جوانب و 3 رؤوس و 3 زوايا ومجموع الزوايا 180 درجة.
1_ متساوي الأضلاع
- يكون المثلث متساوي الأضلاع إذا كانت قياسات زواياه وأطوال أضلاعه متساوية، فيصبح قياس الزاوية 60 درجة.
2_ الزاوية اليمنى
- إنه مثلث بزاوية رأسية 90 درجة.
3_ متساوي الساقين
- إنه مثلث له جانبان من نفس الطول والزوايا بين قاعدتهما متساوية.
4_ الضلوع المختلفة
- وهو مثلث لا يحتوي على زوايا أو جوانب متساوية في القياس والطول، وهما نوعان:
- مثلث بزاوية حادة، أي أن قياسه أقل من 90 درجة، وكأن قياس إحدى الزوايا 70 درجة، والثانية 60 درجة، والأخيرة 50 درجة، أي أن المجموع 180 درجة.
- مثلث بزاوية منفرجة، أي أن قياسه أكبر من 90 درجة، وكأن إحدى الزوايا قياسها 100 درجة، وأخرى 50 درجة، والأخيرة 30 درجة، فيكون المجموع النهائي 180 درجة.
ما هي اوجه التشابه بين المثلثات؟
- يتشابه المثلثان إذا كانت زاويتهما المتقابلة متساوية، أي إذا كان أحدهما ناتجًا عن الآخر، مما يجعله أصغر أو أكبر، فإن كلا المثلثين متشابهان.
- تصبح أطوال أضلاعها متناسبة، أي أن نسبة أطوال ضلعي المثلثات متساوية، ويشير هذا الرمز إلى تشابه المثلثات (~).
حالات نموذجية لتشابه المثلثات
- تتشابه المثلثات إذا كانت أطوال الأضلاع المتساوية فيها متناسبة.
- تتشابه المثلثات إذا كانت زاويتان داخل المثلث الأول تساوي زاويتين داخل المثلث الثاني.
- إذا كانت الزاوية في مثلث واحد مساوية للزاوية في المثلث الآخر، وكانت أطوال الأضلاع الواقعة بين هذه الزوايا متناسبة أيضًا، فإن المثلثين متشابهان.
نتائج تشابه المثلثات
- النسبة بين كل مساحة من مناطق المثلثات المتشابهة = (النسبة بين أي أطوال من الأضلاع المتناظرة) 2.
- نسبة محيط المثلثات المتشابهة = (النسبة بين أطوال أضلاعها المقابلة)
مثال يوضح تشابه المثلثات
- إذا كان هناك مثلث منفرج ABC وكان هناك قطعة مستقيمة A`B موازية للضلع ABB، فإن المثلثين متشابهين لأن الزوايا بين المقطع والجانب المتوازي متساوية، وهذه إحدى حالات التشابه بين مثلثات.
حالات تشابه المثلثات القائمة على اليمين
بالإضافة إلى ما ورد عن تشابه المثلثات، تتشابه المثلثات القائمة في الحالات التالية:
1_ بزاوية حادة
- إذا تساوت زاويتان حادتان في مثلثين مختلفين، فإن المثلثين متشابهان.
2_ الساق والوتر
- إذا كانت نسبة أطوال الوترين مساوية لنسبة أحد أطوال الأرجل داخل مثلثين قائم الزاوية، فإنهما متشابهان.
3_ بالأرجل
- إذا كان لمثلثين قائم الزاوية أرجل متقابلة بنفس الطول، فإن كلا المثلثين متشابهان.
ولا تتردد في قراءة المزيد من خلال: التحقيق في تأثير الزوايا المختلفة على دقة القياس
مجموعة من الخصائص المهمة للمثلثات المتشابهة
هناك بعض خصائص المثلثات المتشابهة:
- يمكنك معرفة أن مثلثين متشابهان بمجرد رؤية نفس الشكل، بغض النظر عن حجمهما.
- كل المثلثات ذات الأضلاع المتساوية مثلثات متشابهة.
- إذا كان هناك زاويتان من نفس المقياس داخل مثلثين داخل مثلثين، فإن 3 داخل كلاهما متساويان.
- في مثلثات متشابهة، كل زاوية تساوي الزاوية المقابلة.
- أي مثلث يشبه نفسه، وتسمى هذه الخاصية الانعكاسية.
- إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر، فمن الطبيعي أن يكون المثلث الثاني مشابهًا للمثلث الأول، وتسمى هذه الخاصية خاصية التناظر.
- إذا كان المثلث مشابهًا لمثلث آخر وكان هذا المثلث مشابهًا لمثلث آخر، فسيكون المثلث 1 مشابهًا للمثلث 3 وتسمى هذه الخاصية متعدية.
- يمكنك استخدام خصائص تشابه المثلثات عند حساب قياسات الأطوال المجهولة لأضلاع أحد المثلثات.
إقرأ أيضاً من هنا: دراسة المتتاليات والسلاسل الهندسية وأشكالها
أمثلة على حالات تشابه المثلثات
من المهم التطبيق عمليًا على المعلومات النظرية، لذلك سنقدم أمثلة تم حلها لحالات تشابه المثلثات على النحو التالي:
1_ المثال 1
مثلثين أطوال أضلاعهما 12 و 5 و 2 سنتيمترًا والآخرون 24 و 10 و 4. هل هذه المثلثات متطابقة؟
- يتم حساب النسبة بين أطوال كل جانب من ضلعه، وإذا كانت تساوي 1، فإن مثلثين متشابهين. في الواقع، عند قسمة الأطوال على بعضها البعض، يحصلون جميعًا على الرقم 2، لذا فهما متشابهان.
2_ المثال 2
مثلثا قائم الزاوية لهما أضلاع متقابلة، قياس كل منهما 7.2 سم، و 10.5 سم، و 3 سم على التوالي، هل يتشابهان وما هي النسبة بين أطوال أضلاعه؟
- 5/7 = 1.5 و 3/2 = 1.5، لذا فإن النسبة متساوية، لذا فإن المثلثات متشابهة.
3_ المثال 3
مثلثين متطابقين. أطوال أضلاع المثلث 1 هي 6، 7، 8 سنتيمترات، والمثلثان الآخران أ، ب يساويان 6.4 سم، ما طول الأضلاع المتبقية؟
- نظرًا لأن كلا المثلثين 1 و 2 متشابهان، فإن نسبة أطوال الأرجل تساوي: 8 / 6.4 = 1.25.
- تحليل 6 / أ = 1.25، نحصل على أ = 4.8 سم، وبالتعويض مرة أخرى لإيجاد ب، 7 / ب = 1.25 يعطينا أ = 5.6 سم.
4_ المثال 4
مثلث أطوال أضلاعه 4 و 2 و 5 سنتيمترات والآخر له أطوال أطوالها 2.8 و 1.4 و 3.5 وتتوافق مع أطوال أحد أضلاع المثلث. هل هم نفس الشيء؟
- عند حساب النسبة بين جميع أطوال أضلاع كل من المثلثين، نجد أنها تساوي = 0.7، لذا فإن كلا المثلثين متشابهان.
5_ المثال 5
xy y مثلث قائم الزاوية يساوي x، وإذا كان xy عموديًا على وتر y، فكم عدد المثلثات المماثلة الموجودة في هذا الشكل؟
- أولًا، المثلثان xyz و yyx لهما زاويتان متساويتان ومتساويتان، الزاوية القائمة x والزاوية y، لذا فهما متشابهان.
- ثانيًا، المثلثات XYZ و HXZ هي نفسها كما في الحالة السابقة، لذا فهما متشابهان.
- وبالتالي، يتم الحصول على 3 مثلثات متطابقة، وهي xyz و yz و yx.
6_ المثال 6
2 مثلثين متشابهين لهما زاويتان قائمتان، طول قاعدة المثلث الأول 6 سم، والثاني 20 سم، والارتفاع 9 سم، ما هو قياس ارتفاع المثلث الثاني؟
- نظرًا لأن كلا المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين أطوال كل جانب ستكون: 6/20 = 3.33.
- إذا استبدلنا العلاقات التي تم الحصول عليها بين أطوال أضلاعها، فسيكون ارتفاع المثلث 2 يساوي 30 سم.
كما أدعوكم للتعرف على: ابحث عن عالم فلك اكتشف علم الجغرافيا الفلكية
إيجاد حالات تشابه المثلثات
أخيرًا، لقد انتهينا من شرح دراسة حالات المثلث المتشابهة للطلاب ومن المهم ملاحظة أن علم المثلثات هو موضوع مهم ومهم في حياتنا اليومية، لذلك من المهم التركيز على الحالات والنظريات والخصائص المماثلة حتى نتمكن من للحصول على درجات أعلى فيه.