دراسة قصيرة عن الضرب الداخلي في دراسة قصيرة عن الضرب الداخلي سنتحدث عن تعريف مفهوم الضرب الداخلي فلنتعرف على أمثلته لأن الضرب الداخلي هو أحد الموضوعات التي يدرسها الطلاب في الرياضيات بدرجة عالية المدرسة. سيكون البحث عنه بسيطًا وقصيرًا وفي نفس الوقت مكتملًا لجميع مفاهيم الضرب الداخلي والمفاهيم الرياضية الأخرى ذات الصلة.
مقدمة لدراسة مختصرة عن الضرب الداخلي
الضرب الداخلي هو أحد أهم العمليات في الرياضيات، ويتم تنفيذ هذه العملية على المتجهات، الزاوية بين متجهين أو إيجاد كمية مادية ما.
انظر أيضًا: 14 حقيقة حول أهمية إثبات قانون الجيب في الرياضيات
حدد الضرب الداخلي
- الضرب الداخلي هو مضاعفة المتجهات من قبل البعض، حيث تعتمد هذه العملية على فصل كائنات متعددة وتستخدم في تحديد الشغل والتدفق المغناطيسي والقوة.
- ويتم الضرب الداخلي بين الاتجاهات ويتم بشكل أساسي لضرب متجهين، وهناك بعض الخصائص التي تميزه عن الضرب العادي.
- الضرب الداخلي له أسماء أخرى، مثل الضرب التبادلي لأنه ضرب متجهين، أو ضرب التقاطع أو الضرب المتجه لأنه عملية ثنائية بين متجهين في مساحة ثلاثية الأبعاد.
- نتيجة ضرب متجهين هي متجه عمودي على المستوى الذي تنتمي إليه المتجهات، على عكس الضرب القياسي الذي يعطينا كمية قياسية.
- يتأخر ضرب متجهين عن ضرب رقمين لأن المتجهات ليست أرقامًا عادية، ولكن لها خصائص مشتركة تميزها، والتي نذكرها أدناه.
ملاحظات حول النواقل
هناك العديد من الملاحظات المهمة حول المتجهات التي نحتاج إلى معرفتها لتسهيل عملية الضرب الداخلي، ويتم شرحها على النحو التالي:
- المتجه عبارة عن مجموعة من الأرقام في شكل رأسي وأفقي، وأي متجه يمكن أن يكون له أي عدد من الاتجاهات، وعادة ما يكون للمتجه ثلاثة اتجاهات.
- وجميع المتجهات، إذا كان لها نفس المقدار، متساوية.
- يسمى المتجه الذي يساوي طوله واحدًا متجه الوحدة.
- المتجه الذي قيمته صفر هو متجه أبعاده وقيمه (0،0،0).
- تُعرف المتجهات التي لها نفس القيمة ولكنها في الاتجاه المعاكس للاتجاهات الأخرى باسم المتجهات السالبة.
- المتجهات التي هي في نفس الاتجاه معًا ولكنها قد تختلف أو تساوي بعضها البعض في المجموع الذي تحمله تُعرف باسم المتجهات المتوازية.
- المتجهات التي تقع في نفس المستوى أو متوازية في نفس المستوى تسمى متجهات متحدة المستوى.
معلومات عن الضرب الداخلي
يحدث المنتج الداخلي بين متجهين في المستوى الإحداثي، حيث يكون الناتج الداخلي لمتجهين هو ضرب إسقاط أحد المتجهين على الآخر بواسطة معلمة المتجه الآخر.
فضاء متجه حقيقي يجتمع مع الضرب الداخلي، لذلك يطلق عليه مساحة الضرب الداخلية الحقيقية.
أنظر أيضا: ما هي الأعداد الأولية والأعداد المركبة؟
خصائص الضرب الداخلي
- هناك العديد من الخصائص الجبرية المتعلقة بعمليات الضرب العادية التي تنطبق على عمليات الضرب الداخلية، وتوجد هذه الخصائص في جميع عمليات الضرب، حيث تكون خاصية تبادلية وخاصية توزيع وخاصية ضرب حقيقية.
- هناك أيضًا بعض الخصائص التي تنطبق فقط على الضرب الداخلي، على سبيل المثال، تكون خاصية الضرب الداخلي عندما نضرب متجهًا في الاتجاه الآخر صفرًا، وإحدى الخصائص الفريدة لمضاعفة المتجهات هي أن هناك علاقة بين طول المتجه والضرب الداخلي.
- أيضًا، يمكن كتابة المتجه كمجموعة خطية من متجهي وحدة معياريين، ويمكن كتابة المتجه كمزيج خطي لمتجه الوحدة القياسي.
- يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة حيث يتم ضرب متجه الوحدة القياسي بالمكون في اتجاه كل منها.
- لدى العلماء العديد من الفرضيات حول الكميات في شكل محاذاة خطية.
مفهوم تعلم الضرب الداخلي
- كما ذكرنا سابقًا، درس الضرب الداخلي مخصص لطلاب المدارس الثانوية ويتم إجراؤه أحيانًا في المرحلة الإعدادية.الدرس هو شرح لعملية مهمة جدًا تحدث عند تعلم النواقل.
- حيث وبعد التعرف على الاتجاهات وخصائصها نتعرف على العمليات التي تجري عليها، وأبرز هذه العمليات هي عملية الضرب الداخلي.
- تتميز عملية الضرب الداخلي بالعديد من التطبيقات الخاصة التي يمكن إجراؤها عليها، مما ينتج عنه طول معروف للمتجه، أو زاوية معروفة بين متجهين، أو موقع متجه في اتجاه متجه آخر.
حدد الناتج الداخلي لمتجهين على المستوى الإحداثي
المنتج الداخلي في المستوى الإحداثي هو مجموع نواتج الوصلات في الاتجاه الأفقي، وهو ناتج التوصيلات في الاتجاه الرأسي.
ويمكننا القول إن الناتج الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي يمثل إسقاطًا لأحدهما على الآخر في نفس معاملات المتجه الثاني.
ناقلات عمودية
- أحد أهم تطبيقات عملية الضرب الداخلي هو التحقق من عمودي متجهين ناتج عن الضرب الداخلي لمتجهين إذا كانا متجهين غير صفري.
- وإذا كان حاصل ضربهم الداخلي لبعضهم يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المتجهات متعامدة.
- ولكن إذا تم الضرب الداخلي لمتجهين، وإذا كانت النتيجة لا تساوي الصفر، فهذا يعني أن المتجهين ليسا متعامدين.
تطبيق الزاوية بين متجهين
من خلال تطبيق الضرب الداخلي على متجهين، يمكننا إيجاد الزاوية الموجودة بين المتجهين، لأنه بضرب متجهين داخليًا بمعيار كل منهما وإيجاد حاصل الضرب هو جيب التمام، نعرف الزاوية بينهما.
بينما يتم العثور على زاوية بعد الضرب الداخلي بعد اتباع قواعد علم المثلثات، والتي من خلالها يتم تحديد قياس تلك الزاوية، يجب معرفة قياسها.
التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي
الضرب الداخلي ليس موجودًا فقط في التطبيقات الرياضية السابقة، ولكن هناك العديد من التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي، وهناك العديد من التطبيقات الهندسية المفيدة التي تستخدم الضرب الداخلي لتحقيقها.
من بين هذه التطبيقات العمل، الذي يساوي الناتج الداخلي لكل من متجهات القوة والإزاحة، أو التدفق المغناطيسي، والذي يساوي ناتج المنتج الداخلي لكل مجال من المجالات المغناطيسية لكل مساحة سطح.
تطبيق الزوايا والعمودية على مساحة الضرب الداخلية
- غالبًا ما تُستخدم الزاوية بين متجهين في مساحة المنتج الداخلية لاشتقاق بعض العلاقات الأساسية بين المتجهات في مساحة المنتج الداخلية، مثل العلاقة بين الفراغ الفارغ ومساحة الشريط لأي مصفوفة.
- على سبيل المثال، إذا كانت U هي فضاء فرعي لمساحة الضرب الداخلية V، وإذا كان المتجه v في V، فيُقال إنه عمودي على U إذا كان متعامدًا مع أي متجه في U.
- وبالتالي، فإن مجموع المتجه في V عموديًا على U يسمى تكملة الفضاء الجزئي العمودي في U.
راجع أيضًا: كيفية حساب النسبة المئوية بين رقمين في زيادات
استنتاج حول دراسة قصيرة عن الضرب الداخلي
لاختتام دراستنا المختصرة عن الضرب الداخلي، فقد قدمنا تعريف الضرب الداخلي وخصائصه. تعلمنا أيضًا عن العديد من تطبيقاته، مثل تطبيقات الزوايا والتعامد في مساحة الضرب الداخلية، وتعلمنا بعض التطبيقات الفيزيائية للضرب الداخلي والمتجهات المتعامدة والزاوية بين اتجاهين كجزء من عمليات الضرب الداخلية.