نظرية الاحتمالية ذات الحدين هي نظرية مهمة يكون فيها التوزيع الاحتمالي ذو الحدين هو ما يعرف بالتوزيع الهامشي، وهو توزيع تجربة عشوائية لها نتيجتان فقط، إحداهما نجاح التجربة الاحتمالية والأخرى هي فشل التجربة بشرط ألا يتأثر احتمال النجاح بتكرار التجربة.
خصائص التوزيع الثنائي
- إذا كانت التجربة تتكون من أكثر من تجربة واحدة، ولكن إذا كانت تتكون من تجربة واحدة، فهي في تجربة توزيع برنولي.
- التجارب مستقلة عن بعضها البعض، أي أن احتمال النجاح هو p واحتمال الفشل هو q.
- إنه توزيع منفصل إذا كان مرتبطًا بتجارب تتكرر n مرة.
- متوسطها = np، والتباين = npq، والانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين.
- يجب أن تكون كل هذه المحاولات متساوية ومستقلة.
- احتمالية النجاح ثابتة في كل محاولة.
اقرأ هنا عن: ارتباط الرياضيات بالعلوم الأخرى؟
نظرية الاحتمال ذي الحدين
- كل محاولة تعطي نتيجة واحدة فقط، نجاح أو فشل، بحيث تكون النتيجة دائمة.
- احتمال النجاح (p) + احتمال الفشل (q) = 1، q = 1-p.
- تعد المحاولات n مستقلة عن بعضها البعض، لذا فإن X هو عدد المحاولات الناجحة من n من المرات.
- حيث X هو متغير ذو الحدين وتوزيعه الاحتمالي هو التوزيع ذي الحدين.
قانون ذو الحدين
- نفترض أن P (x) = P (X = x)، حيث x هو عدد المحاولات الناجحة.
- عدد المحاولات الفاشلة (nx).
- احتمالية وقوع حدث ما تجعل الأحداث مستقلة، لأن الاحتمال يساوي ناتج احتمالات النجاح على النحو التالي: P (aΙb) = P (a) × P (b).
- عدد الطرق لاختيار نجاح x من n من المحاولات هو أي مجموعة من n تم إجراؤها x مرة.
- يسمى التوزيع الاحتمالي X ذي الحدين إذا كانت دالة الاحتمال الخاصة به لها الشكل
- = P (x)
- إذا تم لف القالب 180 مرة، فإن متوسط عدد 6 الذي تم الحصول عليه هو 180 × (= 30) ويكون التباين 180 × () × () = 25 والانحراف المعياري هو
مثال 1
- في اختبار يتكون من 10 أسئلة، يتكون كل سؤال من 4 إجابات، لذلك يكون أحدها فقط صحيحًا والثلاثة المتبقية غير صحيحة.
- إذا قررنا اختيار الإجابة الصحيحة بشكل عشوائي من الإجابات الأربعة لأننا لا نعرف الإجابة الصحيحة.
- تمثل كل استجابة تجربة ناجحة (25) أو خطأ (0.75).
- عدد المحاولات n هو 10، وبما أن التجارب مستقلة، فإنها تحقق التوزيع ذي الحدين.
مثال 2
- يوجد 3 كرات خضراء في الحقيبة، و 6 كرات حمراء مرسومة و 5 كرات مسحوبة، ما هو احتمال سحب 3 كرات حمراء؟
- سيكون الحل
- n = 5، t = 3، a = = حيث يمثل n عدد المرات التي أجريت فيها التجربة، يمثل a احتمال النجاح لكل تجربة.
- ثم l (x = 3) = [ ] ×))
مثال 3
- تحتوي الحقيبة على 3 كرات حمراء و 7 كرات بيضاء، لذا إذا قمت برسم 5 كرات متتالية مع مرتجعات، ما هو احتمال حصولك على 4 كرات بيضاء.
- الحل
- ن = 5، ر = 4
- ل (ب) = 0.7، ل (ح) = 0.3
- ل (4) = [ ] ) ()
مثال 4
- أطلق الصياد 10 طلقات على الهدف وفي كل مرة كان احتمال إصابة الهدف (0.9)، أوجد احتمال إصابة الهدف مرة واحدة على الأقل.
- الحل
- ن = 10، س = 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 1 درجة.
- أ = 0.9
- ل (مرة واحدة على الأقل) = 1 – لتر (0) = 1 – () () () = 1- ()
ولا تفوت قراءة مقالنا: الفرق بين النظرية والفرضية والحقيقة
توزيع Poisson وفقًا لعالم الرياضيات الفرنسي Simon D. Poisson
يعد هذا أحد التوزيعات غير المستمرة المهمة جدًا في العديد من التطبيقات الإحصائية ويسمى توزيع الأحداث النادرة، ومن الأمثلة على ذلك عدد الوحدات المعيبة في عملية إنتاج كبيرة في مصنع معين وعدد المكالمات الهاتفية التي يتلقاها الهاتف. الصرف في فترة زمنية محددة.
نموذج الانحدار السالب ذي الحدين
- أين هذا من نظرية الاحتمال ذي الحدين.
- وهو أحد النماذج العددية المستخدمة لتمثيل بعض الظواهر والمواقف الطبية والهندسية والمالية والجيوفيزيائية والطبيعية مثل المطر والأعاصير والزلازل، لأنه لا يمكن التعبير عنها في النماذج التقليدية التي تعتمد على توزيع واحد.
- يجب أن تجمع هذه الظواهر بين توزيعين (مثل بواسون وكام) للحصول على توزيع أكثر مرونة في حالة الظواهر المعقدة والمجتمعات غير المتجانسة.
- كما أنها تعتبر ذات الحدين السالب كأحد عوامل نظرية الاحتمالات ذات الحدين، وهي مهمة جدًا للحياة، وعلم الأحياء، والدراسات البيئية، والعلوم الزراعية، والهندسة، وكذلك العلوم البكتيرية، حيث أنها أساس النموذج الإحصائي للنموذج العددي. بيانات.
- نظرًا لأن المتوسط الحسابي والتباين لتوزيع بواسون متساويان، فعند زيادة متوسط القيمة، تزداد قيمة التباين أيضًا، وتسمى هذه الخاصية التباين المحايد في حالة وجود توزيع بواسون للبيانات.
- في حالة تجاوز التباين لمتوسط البيانات، الذي يحتوي على خاصية التشتيت المفرط، فإننا نلجأ إلى استخدام نموذج ذي الحدين السالب، المعروف باسم نموذج Poisson-Cam المختلط، لأنه الأكثر ملاءمة لحالة خاصية فرط التشتت.
- على الرغم من أن النموذج ذي الحدين السالب هو مثال على نظرية الاحتمال ذي الحدين، المشتق من النموذج المعقد تقليديًا (Poisson-Cam).
- ومع ذلك، يمكن أن يكون النموذج السالب ذي الحدين جزءًا من عائلة التوزيعات الأسية ذات المعلمة الواحدة النموذجية للنماذج الخطية العامة.
- يتم تحقيق قيمة سالبة ذات الحدين عندما يتجاوز التباين متوسط البيانات.
- لها أربع طرق مختلفة: طريقة المكان الأكبر، طريقة المربعات الصغرى الدورية، طريقة الأماكن الموزونة، وكذلك طريقة المربعات الصغرى الموزونة.
- تتنوع معلمات الطرق ذات الحدين السالب لتهدف إلى أفضل طريقة.
- عندما تم عمل عينة عشوائية بسيطة من 257 حالة مواليد مصابين بتشوهات خلقية مسجلة في دائرة صحة بابل.
- تم استخدام البرامج الإحصائية لتحديد معاملات النموذج ذي الحدين السالب لتحديد أفضل طريقة.
- أظهرت النتائج أن طريقة المربعات الصغرى المعاد وزنها التكرارية كانت أفضل طريقة حيث أنها كانت تحتوي على أصغر جذر متوسط للخطأ التربيعي MSE وأعلى معامل تحديد.
- في عام 1974، أجرى عالم (Balmer) دراسة على مجموعتين من البيانات الحقيقية، حيث تضمنت المجموعة الأولى عدد Lepidoptera التي تم اصطيادها باستخدام مصيدة ضوئية، وتشمل المجموعة الثانية عدد فراشات ميلانو التي تم جمعها.
- عند مقارنة بيانات المجموعتين من حيث ملاءمتها للتوزيعات (ذات الحدين السالب، توزيع بواسون، توزيع بواسون اللوغاريتمي العادي المختلط)، ظهر أن البيانات تناسب التوزيع ذي الحدين السالب أكثر من التوزيعات الأخرى، والمعلمات تم تقدير التوزيع على أفضل وجه ممكن.
- أيضًا، في عام 1987، استخدم أحد العلماء (Nelder) نموذجًا سالب ذي الحدين لتحليل مصائد الحشرات في أعمال تصميم القطاع المتداخلة، وقام بدراسة الخصائص الإحصائية لوظيفة شبه الاحتمال الموسعة بناءً على هذا التصميم.
- أيضا في عام 2005 (Hilbe) استخدم التحليل السلبي ذي الحدين المتسلسل الذي تم استخدامه لآلية التحكم في الآفات الحشرية وتقليل مخاطرها.
اقرأ من هنا: تعبير عن الموضوع لنظرية فيثاغورس
لذلك فإن الاسم ذو الحدين يرجع إلى حدوث حالتين يكون فيهما أحدهما جيدًا أو سيئًا، متطابقًا أم لا، معيبًا أم لا، وتعتبر دالة التوزيع ذات الحدين مصطلحًا عامًا للتحلل ذي الحدين، لذلك يتم استخدامه في حل العديد من المشاكل ولها أهمية كبيرة ليس فقط في الرياضيات.