اختبار الضرب الداخلي للمتجهات يقدم لك موقع جديد اليوم الضرب الداخلي للمتجهات التي تختبر الخاصية الترابطية لأنها إحدى العمليات المهمة في الرياضيات في الضرب الداخلي للمتجهات التي يمكننا من خلالها إجراء العديد من العمليات الحسابية على متجهات مختلفة.
يرضي الضرب الداخلي للناقلات الترابطية
دعنا نطرح سؤالًا مهمًا: هل الضرب الداخلي للمتجهات يرضي الترابطية
لذلك نجيب: عملية الضرب الداخلي للمتجهات لا تحقق الترابط، لذا فهذه المعلومات خاطئة ؛ وذلك لأن الخصائص الجبرية المرتبطة بعمليات الضرب الداخلية هي:
- ميزة الاستبدال.
- والممتلكات التوزيعية.
- خاصية الضرب لعدد حقيقي.
اقرأ هنا: هل العنصر المحايد في عملية الضرب هو صفر؟
عمليه الضرب
- من أهم العمليات في الرياضيات عملية الضرب، حيث تُعرف عملية الضرب بالرمز (×).
- هذه العملية هي الإضافة المتكررة لرقم واحد لعدد معين من المرات بالنسبة لرقم آخر مضروب فيه.
- يجب أن نلاحظ أهم القواعد في هذه العملية وهي (علامات الأرقام).
- عندما نضرب رقمًا بعلامة سالبة في رقم بعلامة سالبة، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.
- لكن إذا ضربت رقمين من علامات مختلفة، فستكون النتيجة سالبة.
الآن سنتحدث عن أهم الخصائص الرياضية لعملية الضرب.
ما هي أهم الخصائص الرياضية لعملية الضرب؟
- منذ زمن الإغريق، اكتشف علماء الرياضيات القوانين والقواعد التي يمكن تطبيقها مع الأعداد، خاصة فيما يتعلق بالضرب.
- حددوا خمس خصائص رئيسية لا تزال قائمة حتى يومنا هذا.
على الرغم من وضوح هذه الخصائص وبساطتها، إلا أنها مهمة للغاية لحل العديد من العمليات الحسابية المعقدة، وسنشرح هذه الخصائص الآن:
1_ الملكية التراكمية
- وهذا هو محور مناقشتنا اليوم، بالطبع، الترابطية تنطبق على الضرب.
- عندما يتم تجميع الأرقام، فهذا يعني أن جميع الأرقام محاطة بأقواس، وكما نعلم، فإن أحد القواعد العامة للرياضيات هو ترتيب العمليات الحسابية.
- العملية الأولى هي ما يوجد داخل الأقواس، وعلى الرغم من أن عملية الضرب لها حالة خاصة، إلا أن وجود الأقواس لا يؤثر عليها، وستكون النتيجة واحدة.
- على سبيل المثال: (axb) xc = (cxb) x a.
- هذا يعني أن الترتيب ليس مهمًا في عملية الضرب، لذلك يمكننا ببساطة كتابة المعادلة على النحو التالي: (axbxc).
2_ خاصية التبادل
يتم تحديد الخاصية التبادلية للضرب من خلال نصها: عندما نضرب رقمين أو أكثر معًا، لا تتأثر النتيجة بغض النظر عن ترتيب الأرقام، على سبيل المثال:
axb = bxa، وأن mxnxe = nxexm = exnxm
3_ خاصية التوزيع
يتم إنتاج هذه الخاصية في عملية الضرب بقسمة الرقم خارج الأقواس، ويتم ضربها في جميع الحدود الموجودة داخل الأقواس، على سبيل المثال:
أ (ب + ج) = أب + ج أو ج (أ + ب) = أ + ب ج.
وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام هذه الوظيفة لتخفيف تعقيد أي معادلة رياضية معقدة، سواء كان ذلك توسيع المعادلات الرياضية أو تقييم المعادلات الرياضية.
4_ خاصية الصفر
هذه الخاصية هي إحدى قواعد التمييز بين الرقم صفر ؛ هذا يعتمد على حقيقة أن نتيجة ضرب أي رقم في صفر هي صفر، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم.
5_ خاصية الشخصية
تعتمد هذه الخاصية على حقيقة أنه عند ضرب رقم في 1، تكون النتيجة هي نفس الرقم، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم، على سبيل المثال:
- إذا ضربنا 4 و 2، تكون النتيجة 8، أي رقم آخر غيرهما.
- هذا يعني أن الرقمين غيرا هويتهما والنتيجة هي 8، وإذا ضربنا الرقم 4 في 1، تكون النتيجة 4.
- هذا يعني أن الرقم 8 احتفظ بهويته حتى بعد الضرب.
ولا تفوت قراءة مقالنا: دراسة موجزة عن الضرب الداخلي
عملية الضرب الداخلي
يتم استخدام الضرب الداخلي في العديد من التطبيقات المتنوعة، والتي يمكننا من خلالها تحديد طول المتجه أو الزاوية بين متجهين، أو تحديد بعض القيم المادية الموجودة في أنواع مختلفة من المشاكل.
ومن مفاهيمها ضرب النواقل ببعضها البعض واستخراج أشياء كثيرة، وتستخدم في كل من:
- الشغل
- بيان الفرص.
- حقل مغناطيسي.
وهذا ما يسمى في الفيزياء (الضرب الاتجاهي) ؛ ويرجع ذلك إلى تفرده بخصائص تميزه عن الضرب العادي.
ينتج عن هذا الضرب شكل متجه متعامد عند المستوى الذي يقع تحته المتجهان، على عكس ما يحدث في الضرب القياسي، والذي يكون ناتجه كمية قياسية، مما يجعله أكثر تميزًا عن الآخرين.
يمثل هذا المتجه مجموعة الأرقام المكونة رأسياً وأفقياً.
التمييز بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي
- يوجد فرق كبير جدًا بين الضرب الداخلي والضرب العرضي لأن الضرب التبادلي يقع بين متجهين وحاصل ضربهما هو حاصل ضرب أحدهما في متجه آخر.
- لذلك، يمكننا حسابها باستخدام مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة التي تقع بين متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد، أي عملية ثنائية.
- حيث تكون النتيجة متجهًا متعامدًا مع المستوى الذي ينتمي إليه، ونرى أيضًا أن الضرب التبادلي يحدث بين متجهات الفضاء.
- وبالتالي، فإن نتيجة عملية الضرب في الاتجاهين ليست رقمًا، كما هو الحال مع الضرب الداخلي، بل هي بالأحرى متجه ؛ بمعنى، يجب أن يكون المتجه عموديًا على المستوى الذي يحدث فيه الضرب.
- هناك بعض الأسماء الأخرى للضرب الداخلي، مثل: (الضرب الموجه، توجيه موجه، الضرب التبادلي).
خصائص العملية الداخلية لتكاثر النواقل
للضرب الداخلي العديد من الخصائص التي تجعله فريدًا، والتي سنذكرها أدناه:
هناك العديد من الخصائص الجبرية للضرب المنتظم، وهي تنطبق أيضًا على الضرب الداخلي.
بشكل أساسي، هذه الخصائص موجودة في كل عملية من عمليات الضرب، وهي:
- ميزة الاستبدال.
- والممتلكات التوزيعية.
- خاصية الضرب لعدد حقيقي.
وذلك لما ذكرناه في بداية المقال عن خواص الضرب الداخلي.
- هناك بعض الخصائص التي تنطبق فقط على الضرب الداخلي.
- على سبيل المثال: خاصية الضرب الداخلي، أي عندما يتم ضرب متجه في متجه آخر يكون حجمه صفرًا.
- إحدى الخصائص التي يمتلكها الضرب الداخلي فقط هي الضرب المتجه.
- كما ذكرنا، هناك علاقة بين طول المتجه والمنتج الداخلي.
- طريقة لكتابة متجه كمجموعة خطية من متجهين قياسيين للوحدة، ويمكنك كتابة متجه كمجموعة خطية من متجه معياري للوحدة.
- يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة، نظرًا لأن المتجه القياسي للوحدة يتم ضربه في اتجاه كل واحد في المكون.
- هناك العديد من الفرضيات التي طرحها العلماء حول الكميات في شكل تناسب خطي.
كما أدعوكم للتعرف على: أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات
تحقق عملية الضرب الداخلي للناقلات الترابطية. بفضل هذه المقالة، تمكنا من التعرف على الفرق بين الضرب الداخلي والضرب العادي والضرب العرضي والخصائص العامة والجبرية لكليهما.