الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية. أهم استخدام للجبر الخطي للاقتصاديين هو العمل باستخدام نماذج الاقتصاد القياسي الخطية. يعد الاستخدام الرئيسي الثاني للجبر الخطي لطلاب الاقتصاد بمثابة أساس لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والتحسين.
هناك بالطبع العديد من التطبيقات الأخرى للجبر الخطي وسنتحدث عنها اليوم ؛ للتعرف على الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية، اتبع موقع جديد اليومات.
الجبر الخطي
الجبر الخطي هو فرع الرياضيات المعني بالمعادلات الخطية مثل:
a1x1 +… + القلق ن = ب
والخرائط الخطية مثل:
x1، …، xn) a1x1 +… + القلق)
وتمثيلها في فضاءات المتجهات ومن خلال المصفوفات.
الجبر الخطي أساسي لجميع مجالات الرياضيات تقريبًا، على سبيل المثال، الجبر الخطي أساسي في العرض الحديث للهندسة.
بما في ذلك تحديد الكائنات الأساسية مثل الخطوط والطائرات والدوران، يمكن أيضًا النظر في التحليل الوظيفي.
هذا فرع من فروع التحليل الرياضي، وهو أساسًا تطبيق الجبر الخطي على مسافات الوظائف.
يستخدم الجبر الخطي أيضًا في معظم مجالات العلوم والتكنولوجيا لأنه يمكنه نمذجة العديد من الظواهر الطبيعية، ويمكنه استخدام هذه النماذج لإجراء عمليات حسابية فعالة.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية التي لا يمكن نمذجتها باستخدام الجبر الخطي، يتم استخدامها عادةً للعمل مع التقديرات التقريبية من الدرجة الأولى.
لأن التفريق بين دالة متعددة المتغيرات في نقطة ما هو تعيين خطي أفضل.
أنظر أيضا: الإدارة المالية والتمويل
تاريخ موجز للجبر الخطي
يظهر إجراء لحل المعادلات الخطية المتزامنة، والتي تسمى الآن القطع الناقص غاوس، في الفصل الثامن من نص رياضي صيني قديم.
المصفوفات المستطيلة لتسعة فصول من الفنون الرياضية، واستخدامها في ثمانية عشر مسألة مع المعادلات من اثنين إلى خمسة.
نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع إدخال الإحداثيات للهندسة في عام 1637 م بواسطة رينيه ديكارت.
في الواقع، في هذه الهندسة الجديدة، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل الخطوط والمستويات بواسطة المعادلات الخطية، ويتم تقليل حساب التقاطعات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية.
تم استخدام الطرق المنهجية الأولى لحل الأنظمة الحتمية الخطية، التي درسها لايبنيز لأول مرة في 1693.
في عام 1750، استخدمها غابرييل كرامر لإعطاء حلول واضحة للأنظمة الخطية، والتي تسمى الآن قاعدة كرامر.
وصف غاوس لاحقًا طريقة الطرح التي تم دمجها في الأصل كخطوة متقدمة في المسح.
في عام 1844، نشر هيرمان جراسمان The Theory of Extensions، والتي تضمنت موضوعات أساسية جديدة لما يسمى الآن بالجبر الخطي.
في عام 1848، صاغ جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح مصفوفة، وهي لاتينية تعني الرحم.
يرتبط الجبر الخطي بالهندسة
هناك علاقة قوية بين الجبر الخطي والهندسة والتي بدأت مع إدخال رينيه ديكارت للإحداثيات الديكارتية في عام 1637 م.
في هذه الهندسة الجديدة (في ذلك الوقت)، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل النقاط بواسطة الإحداثيات الديكارتية.
وهي عبارة عن تسلسلات من ثلاثة أرقام حقيقية (في حالة الفضاء ثلاثي الأبعاد العادي).
يتم تمثيل العناصر الأساسية للهندسة، وهي الخطوط والمستويات، أيضًا بالمعادلات الخطية.
لذلك، فإن حساب تقاطع الخطوط والمستويات يساوي حل أنظمة المعادلات الخطية، وكان هذا أحد الدوافع الرئيسية لتطوير الجبر الخطي.
معظم التحولات الهندسية، مثل الترجمات، والدوران، والانعكاسات، والحركات الجامدة، والقياسات المتساوية، والإسقاطات، تحول الخطوط إلى خطوط.
ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريفها وتحديدها ودراستها من حيث التعيينات الخطية، وهذا هو الحال أيضًا بالنسبة للتجانس وتحولات موبيوس عند النظر في تحويلات الفضاء الإسقاطي.
حتى نهاية القرن التاسع عشر، كانت المسافات الهندسية تُحدَّد بمسلمات النقاط والخطوط والطائرات (الهندسة التركيبية).
في هذا الوقت تقريبًا، اتضح أنه من الممكن أيضًا تحديد الفراغات الهندسية من خلال الإنشاءات التي تتضمن فراغات متجهة.
(انظر، على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي والفضاء الأفيني.) وقد ثبت أن الطريقتين متكافئتان بشكل أساسي.
في الهندسة الكلاسيكية، تكون المساحات المتجهية المعنية مسافات متجهة فوق الواقع، ولكن يمكن توسيع الإنشاءات لتشمل مسافات متجهة فوق أي مجال.
يسمح بعرض الهندسة في الحقول التعسفية، بما في ذلك الحقول المحدودة.
في الوقت الحاضر، تعطي العديد من الكتب المدرسية مسافات هندسية للجبر الخطي في المستوى الأساسي. حيث يتم التعبير عن الهندسة عادةً كحقل فرعي للجبر الخطي.
الامتدادات والتعميمات
يقدم هذا الفصل أيضًا العديد من الموضوعات ذات الصلة التي لا توجد عادة في كتب الجبر الخطي الابتدائية.
لكنها عادة ما يتم اعتبارها في الرياضيات المتقدمة كأجزاء من الجبر الخطي، ومن الأمثلة على ذلك:
- نظرية فضاء الحلقة – نظرية الوحدات
- الجبر متعدد الخطوط وموترات
- مساحات ناقلات طوبولوجية
- متماثل الجبر
استخدامات وتطبيقات الجبر الخطي
يُستخدم الجبر الخطي في كل فرع من فروع الرياضيات تقريبًا، مما يجعله وثيق الصلة تقريبًا بكل فرع من فروع العلوم التي تستخدم الرياضيات. يمكن تقسيم هذه التطبيقات إلى عدة فئات واسعة.
هندسة فضاء المحيطات
يعتمد نموذج الفضاء المحيط على الهندسة، وتستخدم العلوم التي تتعامل مع هذا الفضاء الهندسة على نطاق واسع.
هذا هو الحال مع الميكانيكا والروبوتات لوصف ديناميكيات الجسم الصلب، والجيوديسيا لوصف شكل الأرض.
المنظور ورؤية الكمبيوتر ورسومات الكمبيوتر لوصف العلاقة بين المناظر الطبيعية وتمثيلها المسطح والعديد من المجالات العلمية الأخرى.
في جميع هذه التطبيقات، غالبًا ما تُستخدم الهندسة التركيبية للأوصاف العامة والأساليب النوعية، ولكن لدراسة المواقف الواضحة.
من الضروري إجراء الحساب بمساعدة الإحداثيات، وهذا يتطلب استخدامًا مكثفًا للجبر الخطي.
اخترنا لكم: مفهوم الاقتصاد وأنواعه
تحليل العمل
يفحص التحليل الوظيفي الفراغات الوظيفية ؛ هذه مساحات متجهة لها بنية إضافية مثل مساحات هيلبرت.
وبالتالي، يعد الجبر الخطي جزءًا مهمًا من التحليل الوظيفي وتطبيقاته، والتي تشمل على وجه الخصوص ميكانيكا الكم (وظائف الموجة).
دراسة الأنظمة المعقدة
يتم نمذجة معظم الظواهر الفيزيائية من خلال المعادلات التفاضلية في المشتقات الجزئية، وعادة ما يتم تحليل حلها في الفضاء.
حيث يتم البحث عن الحلول في الخلايا الصغيرة المتفاعلة، وبالنسبة للأنظمة الخطية، يتضمن هذا التفاعل وظائف خطية.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية، غالبًا ما يتم تقريب هذا التفاعل بوظائف خطية، في كلتا الحالتين.
يتم أيضًا تضمين المصفوفات الكبيرة جدًا بشكل شائع، والتنبؤ بالطقس هو مثال نموذجي.
ينقسم الغلاف الجوي للأرض بأكمله إلى خلايا بعرض 100 كيلومتر وارتفاع 100 متر، على سبيل المثال.
الحساب العلمي
تتضمن جميع الحسابات العلمية تقريبًا الجبر الخطي. وهكذا، تم تحسين خوارزميات الجبر الخطي بشكل كبير، مع كون كلا من BLAS و LAPACK من أبرز التطبيقات.
لتحسين الكفاءة، يقوم بعضهم تلقائيًا بضبط الخوارزميات في وقت التشغيل لتكييفها مع خصائص الكمبيوتر (حجم ذاكرة التخزين المؤقت، عدد النوى المتاحة، …).
تم تصميم بعض المعالجات، عادةً وحدات معالجة الرسومات (GPU)، ببنية مصفوفة لتحسين عمليات الجبر الخطي.
تطبيق الجبر الخطي في علم الاقتصاد
يحتوي الجبر الخطي على مجموعة كبيرة من التطبيقات ؛ اعلم أن بعض النماذج الاقتصادية تستخدم معادلات وتباينات تفاضلية للتنبؤ بمستويات السوق أو زيادة الأرباح.
وبالتالي، فإن الجبر الخطي يشارك في حل هذه المعادلات أو حتى في الحصول على شروط لحل مثل هذه المشاكل.
يعتمد الكثير من النظرية الرياضية الخطية على الجبر الخطي، لذلك من المستحيل الابتعاد عنها.
نظرًا لأننا نميل إلى جعل المسائل خطية كلما أمكن ذلك (كلما كان حلها أسهل)، فإننا نستخدم الجبر الخطي في علم الاقتصاد.
تطبيقات الجبر الخطي في الاقتصاد من قبل أميت جارج Mathematics Economics هو فرع من المعرفة يهتم بإنتاج واستهلاك ونقل الثروة.
يمكن تقريب العديد من العلاقات الاقتصادية بواسطة المعادلات الخطية، ويمكن تحويل العلاقات الأخرى إلى علاقات خطية.
وهكذا يلخص تحليل العديد من النماذج الاقتصادية دراسة نظم المعادلات الخطية والعلاقة بين الجبر الخطي والاقتصاد.
أفضل الأمثلة على تطبيق الجبر الخطي في الاقتصاد هي: نموذج المدخلات والمخرجات الخاص بـ Leontief، وهو نموذج يوضح العلاقة بين مختلف فروع الاقتصاد.
طوره فاسيلي ليفونتييف، وقسم الاقتصاد إلى قطاعات مختلفة مثل: صناعة الفحم، والصناعة الزراعية، والصناعة التحويلية، إلخ.
استخدم أيضًا معادلة خطية لكل قطاع وكتب معادلة خطية تصف كيفية توزيع القطاع الناتج بين القطاعات الأخرى.
قد تكون مهتمًا بـ: موضوع مقال الاقتصاد الرقمي
في نهاية المقالة الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية الجبر الخطي مهم جدًا في علم الاقتصاد، على سبيل المثال، حيث يدور علم الاقتصاد الحديث حول البيانات، لذا فإن أشياء مثل الاقتصاد القياسي مهمة جدًا، واهتمامها بتذكير أساس التحليل وأكثر.