إيجاد المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها وهي فروع الرياضيات وتعبر عن مجموعة من الأرقام والمتسلسلات تعبر عن مجموعة خاصة من المصطلحات وسنشرح البحث في هذه المقالة.

مقدمة في دراسة المتتاليات والسلاسل الهندسية وأشكالها

تدخل الرياضيات في جميع فروعها، بما في ذلك المتتاليات والمتسلسلات الهندسية، لأن الإنسان يحتاج إليها لإجراء عمليات حسابية ولشراء بعض واجباته التي يحتاجها باستمرار.

أقدم لكم اليوم أيضًا المزيد حول: دراسة تفصيلية لخصائص الأعداد الحقيقية

ما هي التسلسلات؟

  • بعد إيجاد المتواليات والمسلسلات الهندسية وأشكالها، يمكن تعريف التسلسل على أنه مجموعة من الأرقام، كل رقم في التسلسل له نمط مرتبط به.
  • عادة، يتبع التسلسل نمطًا وترتيبًا خاصًا للتحكم في كل رقم فيه، ويطلق على كل رقم في التسلسل رقم القطع.
  • مثال تسلسل: إذا افترضنا أن هناك مربعات متصلة وأن هناك عدة كرات في كل صندوق، فإن ترتيب الصناديق هو رقم الحد، وليس المربع نفسه هو رقم الحد، ويطلق على عدد الكرات في المربع قيمة الحد.
  • أو إذا افترضنا أن هناك قطارًا وفيه 20 سيارة، ولكل سيارة عدد من الركاب، وهذه السيارات تعتبر أرقامًا هامشية، فإن عدد الركاب هو القيمة الهامشية.
  • على سبيل المثال، ما يقرب من 12 راكبًا، الرقم 15 هو الحد الأقصى، والرقم 12 هو الحد الأقصى.

1- المتتاليات الهندسية

  • يمكن تعريف التسلسل الهندسي على أنه تسلسل تتساوى فيه نسب كل رقم إلى رقمين متتاليين.
  • ومن أمثلة هذه المتتاليات: 2، 6، 18، 54، 162 هذا تسلسل هندسي يتكون من 5 عناصر، حيث يكون العنصر الأول فيها 2، وكل رقم لاحق من هذه الأرقام هو نسبة بينها
  • على سبيل المثال، 6/2 = 3، 54/18 = 3. يمكن إيجاد القاعدة العامة لكل سلسلة هندسية باستخدام الصيغة التالية: HN = A × R (N -1)
  • حيث A هو العنصر الأول في التسلسل الهندسي ويسمى التسلسل الأساسي، R هو النسبة الثابتة للتسلسل الهندسي.
  • يمكن إيجاده بقسمة أي حدين متتاليين من متتالية هندسية.
  • يمكن توضيح ذلك من خلال المثال التالي: ما هي قواعد الترتيب الهندسي التالية: 5، 10، 20، 40، …؟
  • HN = A x T (N-1)، العنصر الأول في التسلسل A: A = 5، النسبة بين كل من العنصرين المتتاليين: t = 10/5 = 20/10 = 40/20 = 2 أساس هذا التسلسل: HN = 5 X 2 (N-1)
  • استخدم القواعد التالية لإيجاد مجموع المتتاليات الهندسية لمحد معين في N عندما R < 1, тады: Сума = A × (1-дыяпазон) / (1-r) Калі T > 1، ثم: المجموع = A × (تشغيل- 1) / (R-1).

2- ملاحظات عن المتتاليات الهندسية

  • بعد إضافة البحث عن المتواليات والمسلسلات الهندسية وأشكالها، يمكن تحديد المصطلح التاسع للتسلسل الهندسي: H = A، RUN -1، حيث A هو المصطلح الأول و R هو أساس المتسلسلة.
  • المتوسط ​​الهندسي بين العددين a و b هما عناصر التسلسل، والعنصر الأول هو a، والعنصر الأخير فقط هو b.
  • إذا كانت الأرقام أ، ب، ج عناصر هندسية لا يمكن فصلها، فإن ب هو المتوسط ​​الهندسي. حيث: a / b = b / c → b = الجذر التربيعي للفأس الموجب والسالب c.

ولا تفوت قراءة المزيد في: استكشاف الاستدلال الاستنتاجي في الرياضيات

إيجاد قاعدة المتتاليات

  • يمكنك العثور على قواعد المتسلسلة عن طريق تحديد نوع التسلسل، وتحديد ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم هندسيًا، ثم إيجاد قواعده باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه.
  • إذا لم يكن التسلسل حسابيًا أو هندسيًا أو فيبوناتشي، فيمكنك معرفة قواعده عن طريق التجربة والخطأ.
  • بمعنى آخر، حاول تخمين العلاقة بين الأرقام المختلفة.
  • على سبيل المثال، يمكنك معرفة قواعد الترتيب التالية: 1، 4، 9، 16، والتي لا يمكن اعتبارها حسابية أو هندسية، عن طريق التجربة والخطأ.
  • علما أن كل رقم فيه يساوي مرتبته أي. H n = n² لأن: 1² = 1، 2² = 4، 3² = 9، و 4² = 16.
  • بعد إيجاد قواعد المتسلسلة، يمكننا إيجاد الحدود المتبقية: 1، 4، 9، 16، 25، 36، 49.

استخدم التسلسلات

  • التسلسل عبارة عن مجموعة من الأرقام ذات نمط محدد تستخدم في العديد من العمليات التي يعتمد عليها البناء، ويعتمد البناء الرياضي عليها على وجه التحديد، ويتم تضمينها في العديد من التطبيقات الرياضية.
  • على سبيل المثال، عندما نحتاج إلى تسوية ديون شخص ما، فإننا غالبًا ما نستخدم الأولوية.
  • يمكن أيضًا استخدام هذه التسلسلات لحساب الأقساط والأنشطة التجارية الأخرى، وخاصة الأعمال المصرفية.

أمثلة على بعض التسلسلات

1- المثال الأول

ما هو الحد 35 في التسلسل التالي: 3، 9، 15، 21، ……؟

الحل

يمكنك استخدام قاعدة التسلسل الحسابي لحل هذه المشكلة: HN = H 1 + (N -1) XD نحصل على:

  • الفرق بين كل عنصرين متتابعين في هذا التسلسل هو D = 6، والعنصر الأول هو 3، لذا فإن أساسه هو: HN = 3 + (N-1) X 6 = 6 XN -3.
  • يمثل N ترتيب العناصر التي سيتم العثور عليها، وهو 35، لذلك: عن طريق الاستبدال الكنسي، فإن 35 عنصرًا هي: V35 = 6 x N -3 = (6 x 35) -3 = 207.

2- المثال الثاني

تسلسل حسابي فيه حد 5 يساوي -8 والحد 35 هو 72. ما هي قواعد المتتابعة وما هي قيمة حد النسبة المئوية؟

الحل

  • نظرًا لأن هذا التسلسل عبارة عن تسلسل حسابي، فإن قاعدته العامة هي HN = H 1 + (N -1) XD لإيجاد قيمة أي عنصر، نحتاج أولاً إلى إيجاد قيمة العناصر التالية: H 1، D.
  • بما أن الحد الخامس هو -8، إذن: -8 = H1 + (5-1) x D (المعادلة الأولى).
  • بما أن الحد الخامس والعشرين هو 72، إذن: 72 = H 1 + (25-1) xD (المعادلة الثانية) الآن لدينا معادلتان ونتابع طريقة الحذف لحل هاتين المعادلتين ثم: H 1 = – 24، د = 4.
  • مما سبق يتضح أن أساس التسلسل الحسابي هو: HN = -24 + (N -1) X 4، لذلك يمكن إيجاد قيمة هذا المصطلح باستبدال هذه القاعدة كما هو موضح أدناه: H 100 = – 24 + (100-1) × 4 = 372.

3- المثال الثالث

ما هي قاعدة الترتيب التالية: 4، 5، 6، 7، …؟

الحل

  • للعثور على العناصر المفقودة، يجب عليك أولاً فهم نوع التسلسل.
  • يتم ذلك من خلال استعراض العناصر في سلسلة من العمليات الحسابية.
  • القاعدة العامة هي: وأسسها: HN = 4+ (N-1) X 1 = N +3 بما أن الحد الأول هو 4، فإن الفرق بين كل رقمين متتاليين هو 1.

سلسلة

  • بعد توضيح دراسات المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها، يمكن تحديد أن السلسلة هي مجموع المصطلحات المتتالية.
  • تُعرف المصطلحات بين المصطلحين بالوسائل، ويمكن الحصول على السلسلة بوضع + بين شروط التسلسل.

أشكال متسلسلة

  • تعبر السلسلة عن مجموع المصطلحات المتتالية، ويتم التعبير عن ناتج المجموع الأولي للمصطلحات برمز مجموع السلسلة الجزئية.
  • تحتوي السلسلة الهندسية اللانهائية على عدد لا حصر له من المصطلحات.
  • هناك نوعان من السلاسل: سلسلة هندسية متقاربة وسلسلة هندسية متباعدة.

اقرأ التفاصيل من هنا: أسئلة نتائج الرياضيات في المرحلة الثانوية مع الإجابات

اختتام البحث عن المتتاليات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها

يقودنا هذا إلى نهاية دراسة المتواليات والمسلسلات الهندسية وأشكالها. شرحنا بعض الأمثلة على التسلسلات الهندسية وناقشنا استخدام المتتاليات وتطبيقها على العديد من المشاكل.